快易知
线性代数

线性方程组的基本概念

线性方程组的定义

线性方程的定义

线性方程

含有 n 个未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 的线性方程是指形如： a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=ba_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b

的方程，其中 aija_{ij} 是实数，bib_i 是实数，且 a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n 不全为零。

线性方程组的定义

线性方程组

含有 n 个未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 的 m 个线性方程组成的方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

的方程，其中 aija_{ij} 是实数，bib_i 是实数。

线性方程组的分类

齐次线性方程组

齐次线性方程组

如果线性方程组中所有常数项 bi=0b_i = 0，即：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

则称该方程组为齐次线性方程组。

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

如果线性方程组中至少有一个常数项 bi≠0b_i \neq 0，则称该方程组为非齐次线性方程组。

矩阵表示

系数矩阵

系数矩阵

线性方程组的系数矩阵为：

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}

增广矩阵

增广矩阵

线性方程组的增广矩阵为：

(A∣b⃗)=(a11a12…a1n∣b1a21a22…a2n∣b2⋮⋮⋱⋮∣⋮am1am2…amn∣bm)(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}

矩阵形式

矩阵形式

线性方程组可以表示为矩阵形式： Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}

其中：

  • AA 是系数矩阵
  • x⃗=(x1,x2,…,xn)T\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T 是未知数向量
  • b⃗=(b1,b2,…,bm)T\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_m)^T 是常数项向量

解的概念

解的定义

解

满足方程组中所有方程的变量值称为方程组的解。

解集

解集

线性方程组所有解的集合称为该方程组的解集。

解的分类

  1. 唯一解：方程组有且仅有一个解
  2. 无穷多解：方程组有无穷多个解
  3. 无解：方程组没有解

线性方程组的等价性

等价方程组的定义

等价方程组

如果两个线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} 和 Cx⃗=d⃗C\vec{x} = \vec{d} 的解集相同，则称这两个方程组等价。

等价变换

等价变换

对线性方程组进行以下变换，得到的新方程组与原方程组等价：

  1. 交换两个方程的位置
  2. 用一个非零常数乘以某个方程
  3. 将某个方程的倍数加到另一个方程上

练习题

练习 1

将线性方程组 {x+2y=53x−y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} 写成矩阵形式。

线性方程组矩阵表示解的判定系数矩阵

解题思路： 确定系数矩阵、未知数向量和常数项向量。

详细步骤：

  1. 系数矩阵： A=(123−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

  2. 未知数向量： x⃗=(xy)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

  3. 常数项向量： b⃗=(54)\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}

  4. 矩阵形式： (123−1)(xy)=(54)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}

最终答案：Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}，其中 A=(123−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}，x⃗=(xy)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}，b⃗=(54)\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}

练习 2

判断方程组 {x+y=22x+2y=4\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases} 是齐次还是非齐次。

线性方程组矩阵表示解的判定常数项

解题思路： 检查常数项是否全为零。

详细步骤：

  1. 第一个方程：x+y=2x + y = 2，常数项为 2，不为零
  2. 第二个方程：2x+2y=42x + 2y = 4，常数项为 4，不为零
  3. 两个方程的常数项都不为零

最终答案：非齐次线性方程组

练习 3

写出方程组 {x+y+z=02x+3y+z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases} 的增广矩阵。

线性方程组矩阵表示解的判定常数项

解题思路： 将系数和常数项按顺序排列成矩阵。

详细步骤：

(111∣0231∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}

最终答案：(A∣b⃗)=(111∣0231∣0)(A|\vec{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}

练习 4

判断方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} 是否有解。

线性方程组矩阵表示解的判定

解题思路： 分析两个方程的关系。

详细步骤：

  1. 第一个方程：x+y=1x + y = 1
  2. 第二个方程：x+y=2x + y = 2
  3. 两个方程左边相同，右边不同
  4. 不存在 x,yx, y 同时满足两个方程

最终答案：无解

练习 5

证明：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 总是有解。

线性方程组矩阵表示解的判定零向量

解题思路： 利用零向量的性质。

详细步骤：

  1. 设 x⃗=0⃗=(0,0,…,0)T\vec{x} = \vec{0} = (0, 0, \dots, 0)^T
  2. 代入方程：A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}
  3. 矩阵与零向量相乘等于零向量
  4. 所以 x⃗=0⃗\vec{x} = \vec{0} 是齐次方程组的解

最终答案：证明完成，零解总是存在

线性相关的定义

线性相关

线性相关：设 v⃗1,v⃗2,…,v⃗m\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_m 是向量空间中的向量组，如果存在不全为零的数 k1,k2,…,kmk_1, k_2, \dots, k_m，使得： k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+kmv⃗m=0⃗k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_m\vec{v}_m = \vec{0}

则称这组向量线性相关；否则称它们线性无关。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n数学符号x sub 1, x sub 2方程组的 nn 个未知数
aija_{ij}数学符号a sub i j系数矩阵中第 ii 行第 jj 列的元素
AA数学符号matrix A系数矩阵，由所有系数 aija_{ij} 排成
(A∣b⃗)(A\mid \vec{b})数学符号augmented matrix增广矩阵，系数矩阵拼上常数项向量
Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}数学符号A x equals b线性方程组的矩阵形式
x⃗=(x1,x2,…,xn)T\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T数学符号x vector未知数向量
Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}数学符号A x equals zero齐次方程组（常数项全为零）

中英对照

中文术语英文术语音标说明
线性方程组system of linear equations/ˈlɪniə ɪˈkweɪʒənz/mm 个 nn 元一次方程联立
齐次线性方程组homogeneous system/ˌhɒməˈdʒiːniəs ˈsɪstəm/常数项全为零 bi=0b_i = 0 的方程组
非齐次线性方程组nonhomogeneous system/nɒnˌhɒməˈdʒiːniəs ˈsɪstəm/至少一个常数项 bi≠0b_i \neq 0
系数矩阵coefficient matrix/ˌkəʊɪˈfɪʃnt ˈmeɪtrɪks/只由系数 aija_{ij} 排成的矩阵 AA
增广矩阵augmented matrix/ɔːɡˈmentɪd ˈmeɪtrɪks/系数矩阵拼上常数项的 (A∣b⃗)(A\mid \vec{b})
解集solution set/səˈluːʃn set/方程组所有解组成的集合
等价方程组equivalent system/ɪˈkwɪvələnt ˈsɪstəm/解集相同的两个方程组
线性相关linearly dependent/ˈlɪniəli dɪˈpendənt/存在不全为零的数使 ∑kiv⃗i=0⃗\sum k_i\vec{v}_i = \vec{0}
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