综合练习题

1. 将第2、3、4行都加到第1行： $R_1 \to R_1+R_2+R_3+R_4$，第1行变为 $(10, 10, 10, 10)$
2. 提取公因子10：$D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
3. 用第1行消去其他行的第1列： $R_2 \to R_2-2R_1$，$R_3 \to R_3-3R_1$，$R_4 \to R_4-4R_1$ $D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -1 \end{vmatrix}$
4. 按第1列展开：$D = 10 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -3 & -2 & -1 \end{vmatrix}$
5. 计算三阶行列式： $= 10[1((-2)(-1)-(-1)(-2)) - 2(1(-1)-(-1)(-3)) + (-1)(1(-2)-(-2)(-3))]$ $= 10[1(2-2) - 2(-1-3) - 1(-2-6)]$ $= 10[0 + 8 + 8] = 10 \times 16 = 160$

答案：$D = 160$

1. 由伴随矩阵性质：$A^* = |A|A^{-1} = 2A^{-1}$
2. $2A^* - 3A^{-1} = 2(2A^{-1}) - 3A^{-1} = 4A^{-1} - 3A^{-1} = A^{-1}$
3. $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2}$

答案：$|2A^* - 3A^{-1}| = \frac{1}{2}$

1. 整理方程：$AX - X = A^2 - E$，即 $(A-E)X = A^2 - E$
2. $A - E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$|A-E| = -1 \neq 0$，可逆
3. $A^2 - E = (A-E)(A+E)$，故 $X = (A-E)^{-1}(A-E)(A+E) = A+E$
4. $X = A + E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

答案：$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

1. 由 $A^2 - 3A + 2E = 0$，得 $A^2 - 3A = -2E$
2. 即 $A(A - 3E) = -2E$，两边乘以 $-\frac{1}{2}$：$A \cdot \frac{3E-A}{2} = E$
3. 由逆矩阵定义，$A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{3E-A}{2}$

答案：$A$ 可逆，$A^{-1} = \frac{3E-A}{2}$

1. 初等行变换： $R_2 \to R_2-2R_1$，$R_3 \to R_3-3R_1$，$R_4 \to R_4-R_1$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
2. 交换行：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
3. 行阶梯形有2个非零行，故 $r(A) = 2$

答案：$r(A) = 2$

1. 系数行列式：$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$
2. 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。
3. 当 $\lambda = 1$ 时，三个方程相同，均为 $x_1+x_2+x_3=1$，有无穷多解。 通解：$(1,0,0)^T + k_1(-1,1,0)^T + k_2(-1,0,1)^T$（$k_1,k_2$ 为任意常数）
4. 当 $\lambda = -2$ 时，增广矩阵行变换后出现矛盾行 $0=3$，无解。

答案：$\lambda \neq 1,-2$ 时唯一解；$\lambda = 1$ 时无穷多解，通解为 $(1,0,0)^T+k_1(-1,1,0)^T+k_2(-1,0,1)^T$；$\lambda = -2$ 时无解。

1. 特征多项式：$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-3 & 1 \\ -2 & -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-4)^2(\lambda-2)$
2. 特征值：$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 4$
3. 对 $\lambda_1 = 2$：解 $(2E-A)x=0$，得特征向量 $k_1(-1,1,1)^T$（$k_1 \neq 0$）
4. 对 $\lambda_2 = \lambda_3 = 4$：解 $(4E-A)x=0$，得特征向量 $k_2(1,0,2)^T + k_3(0,1,1)^T$（$k_2,k_3$ 不全为0）

答案：特征值为 $2, 4, 4$；对应特征向量分别为 $k_1(-1,1,1)^T$ 和 $k_2(1,0,2)^T+k_3(0,1,1)^T$。

1. $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$
2. $A^* = |A|A^{-1} = 6A^{-1}$，故 $A^*$ 的特征值为 $\frac{6}{\lambda}$，即 $6, 3, 2$
3. $2A$ 的特征值为 $2\lambda$，即 $2, 4, 6$
4. $E$ 的特征值均为 $1$
5. $A^* + 2A + E$ 的特征值为 $6+2+1=9$，$3+4+1=8$，$2+6+1=9$
6. $|A^* + 2A + E| = 9 \times 8 \times 9 = 648$

答案：$|A^* + 2A + E| = 648$

1. 特征多项式：$|\lambda E - A| = (\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-5)$，特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=5$
2. 对 $\lambda_1=1$：特征向量 $\xi_1 = (0, -1, 1)^T$，单位化 $p_1 = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})^T$
3. 对 $\lambda_2=2$：特征向量 $\xi_2 = (1, 0, 0)^T$，单位化 $p_2 = (1, 0, 0)^T$
4. 对 $\lambda_3=5$：特征向量 $\xi_3 = (0, 1, 1)^T$，单位化 $p_3 = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})^T$
5. 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，故 $P = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
6. $P^{-1}AP = \text{diag}(1, 2, 5)$

答案：$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$，$P^{-1}AP = \text{diag}(1,2,5)$。

1. 二次型矩阵：$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$
2. 顺序主子式：
   • $\Delta_1 = 2 > 0$
   • $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 10-4 = 6 > 0$
   • $\Delta_3 = |A| = 2(25-16) - 2(10-8) + (-2)(-8+10) = 18 - 4 - 4 = 10 > 0$
3. 所有顺序主子式都大于0，故二次型正定。

（也可通过特征值验证：特征值为 $1, 1, 10$，全大于0，故正定。）

答案：二次型正定。