基变换

一、同一向量，不同坐标

一个向量 $(3, 2)$ 在标准基 $\{\hat{\imath}, \hat{\jmath}\}$ 下的意思是"$3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}$"。

但如果换一组基 $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}$（比如 $\mathbf{b}_1 = (1, 1)$，$\mathbf{b}_2 = (1, -1)$），同一个向量会有不同的坐标——用 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2$ 的组合来表示它。

同一位置的点：
标准基下：v = (3, 2)
新基下：  v = 2.5·b₁ + 0.5·b₂   （因为 2.5(1,1) + 0.5(1,-1) = (3, 2)）

坐标不是向量的固有属性，而是”相对于某组基”的表述。

二、基变换矩阵

从新基坐标 → 标准基坐标

设新基为 $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}$（写成标准基下的坐标）。若向量在新基下的坐标为 $[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = (x', y')^T$，则它在标准基下的坐标为：

$$\mathbf{v} = x'\mathbf{b}_1 + y'\mathbf{b}_2 = \underbrace{\begin{pmatrix} | & | \\ \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 \\ | & | \end{pmatrix}}_{B} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$$

基变换矩阵 $B$ 的列就是新基向量（在标准基下的坐标）。

从标准基坐标 → 新基坐标

反过来，用 $B^{-1}$：

$$[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = B^{-1}\mathbf{v}$$

例：B = [[1, 1], [1, -1]]（b₁ = (1,1)，b₂ = (1,-1)）
B⁻¹ = (1/-2)[[-1, -1], [-1, 1]] = [[0.5, 0.5], [0.5, -0.5]]
验证：B⁻¹·(3, 2) = (0.5×3+0.5×2, 0.5×3−0.5×2) = (2.5, 0.5) ✓
（与上文 2.5b₁ + 0.5b₂ 一致）

三、换坐标下的线性变换：相似矩阵

问题

同一个线性变换 $T$，在标准基下用矩阵 $A$ 表示，在新基 $\mathcal{B}$ 下用矩阵 $A'$ 表示。$A'$ 和 $A$ 有什么关系？

推导

1. 先把向量从新基坐标转回标准基：$B$
2. 应用变换：$A$
3. 再转回新基坐标：$B^{-1}$

$$A' = B^{-1} A B$$

称 $A'$ 与 $A$ 相似（similar）。

四、为什么基变换重要

对角化的好处：对角矩阵的计算极其简单（逐元素运算），还能方便地求幂：

$$A^k = B \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{pmatrix} B^{-1}$$

五、直观总结

总结

本文出现的符号

中英对照