叉积

一、叉积是什么

叉积（cross product） 是三维空间中两个向量的另一种乘法，结果仍是一个向量（区别于点积的标量）：

$$\mathbf{v} \times \mathbf{w}$$

几何意义：

1. 方向：垂直于 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 所在的平面，由右手定则决定
2. 长度：等于 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 张成的平行四边形的面积

$$\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\| = \|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|\sin\theta$$

二、右手定则

用右手四指从 $\mathbf{v}$ 转向 $\mathbf{w}$（转过较小角度），大拇指所指方向 = $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ 的方向。

右手四指：v → w（沿较小角度）
大拇指：指向 v×w

• $\hat{\imath} \times \hat{\jmath} = \hat{k}$（x 轴 × y 轴 = z 轴）
• $\hat{\jmath} \times \hat{k} = \hat{\imath}$
• $\hat{k} \times \hat{\imath} = \hat{\jmath}$
• 叉积反交换：$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = -(\mathbf{w} \times \mathbf{v})$

三、叉积的计算公式

三维叉积可以用”伪行列式”记忆：

$$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

展开（按第一行）：

$$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{pmatrix} v_2 w_3 - v_3 w_2 \\ v_3 w_1 - v_1 w_3 \\ v_1 w_2 - v_2 w_1 \end{pmatrix}$$

例：v = (1, 0, 0)，w = (0, 1, 0)
v×w = (0×0 − 0×1, 0×0 − 1×0, 1×1 − 0×0) = (0, 0, 1) = k ✓

验证长度公式：$\|v\| = 1$，$\|w\| = 1$，$\theta = 90°$，$\|v\times w\| = 1\times1\times\sin90° = 1$ ✓（单位正方形的面积）

四、二维叉积：一个有符号的数

在二维平面上，把两个向量看作 z 分量为 0 的三维向量，叉积只剩下 z 分量：

$$v_1 w_2 - v_2 w_1$$

这个数（有符号）恰好等于这两个向量张成的平行四边形的有向面积！

例：v = (2, 1)，w = (1, 3)
叉积 = 2×3 − 1×1 = 5（正，v 到 w 是逆时针）

与行列式的联系

二维叉积 = 以两向量为列的矩阵的行列式：

$$v_1 w_2 - v_2 w_1 = \det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{pmatrix}$$

几何直觉：这正是行列式”面积缩放”意义在两向量上的体现。

五、叉积的应用

图形学例子：已知三角形三个顶点，取两条边的叉积即得三角形所在平面的法向量——法向量是光照计算的基础。

六、点积 vs 叉积

总结

本文出现的符号

中英对照