逆矩阵与线性方程组

一、逆变换：把空间”变回去”

如果变换 $M$ 把平面拉伸、旋转，那么逆变换 $M^{-1}$ 就是把它变回原样：

$$M^{-1} \cdot M = I \quad \text{（恒等变换，什么都不做）}$$ $$M \cdot M^{-1} = I$$

几何直觉：$M$ 是”把空间变形”，$M^{-1}$ 是”把变形恢复”。先变再复原 = 没变。

v ──M──► Mv ──M⁻¹──► v

逆矩阵存在 ⟺ det ≠ 0

• det ≠ 0：变换没有压扁空间，可以完美复原 → 可逆
• det = 0：空间被压扁，信息丢失，无法复原 → 不可逆（奇异）

二、2×2 逆矩阵公式

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad M^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

记忆法：

1. 主对角线交换：$a \leftrightarrow d$
2. 副对角线取负：$b, c$ 变号
3. 整体除以行列式 $ad - bc$

例：M = [[2, 0], [0, 4]]（x 拉 2 倍，y 拉 4 倍）
det = 8
M⁻¹ = (1/8)[[4, 0], [0, 2]] = [[0.5, 0], [0, 0.25]]
验证：M·M⁻¹ = [[2×0.5, 0], [0, 4×0.25]] = [[1, 0], [0, 1]] = I ✓

几何上：x 方向拉 2 倍，逆变换就是 x 方向压回一半（×0.5）；y 方向同理。

三、逆矩阵求解线性方程组

线性方程组可以写成矩阵形式：

$$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{M} \underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}}_{\mathbf{b}}$$

即 $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$。

几何视角：问题变成——“哪个向量 $\mathbf{x}$ 经过变换 $M$ 后落在 $\mathbf{b}$？”

求解：两边左乘 $M^{-1}$：

$$M^{-1}M\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b} \implies \mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b}$$

例：2x + 0y = 2     →  [[2,0],[0,4]]·(x,y) = (2, 8)
    0x + 4y = 8
M⁻¹ = [[0.5,0],[0,0.25]]
(x, y) = M⁻¹·(2, 8) = (0.5×2, 0.25×8) = (1, 2) ✓

几何意义：解方程 = “反向运行变换”。这正是 3Blue1Brown 强调的视角：线性方程组不是符号游戏，而是”找哪个向量变换后到达目标位置”。

四、从几何理解方程组的有解性

”$\mathbf{b}$ 在列空间中”——这个概念正是下一节的主题。

五、逆矩阵的其他性质

几何理解 $(M_1 M_2)^{-1} = M_2^{-1} M_1^{-1}$：要撤销”先 $M_2$ 后 $M_1$“，得先撤销 $M_1$（用 $M_1^{-1}$），再撤销 $M_2$（用 $M_2^{-1}$）——所以逆的顺序反过来了。

总结

本文出现的符号

中英对照