实对称矩阵

实对称矩阵的定义

对称矩阵的定义

实对称矩阵的定义

例子

例 1：矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ 是实对称矩阵，因为 $A^T = A$。

实对称矩阵的性质

基本性质

性质 1：实对称矩阵的特征值都是实数。

性质 2：实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。

性质 3：实对称矩阵可以对角化。

性质 4：实对称矩阵可以正交对角化。

性质 1 的证明

证明：设 $A$ 是实对称矩阵，$\lambda$ 是其特征值，$\vec{x}$ 是对应的特征向量。

$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$

两边取共轭转置： $\vec{x}^*A^T = \lambda^*\vec{x}^*$

由于 $A$ 是实对称矩阵，$A^T = A$，所以： $\vec{x}^*A = \lambda^*\vec{x}^*$

两边右乘 $\vec{x}$： $\vec{x}^*A\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}$

左边：$\vec{x}^*A\vec{x} = \vec{x}^*\lambda\vec{x} = \lambda\vec{x}^*\vec{x}$

所以：$\lambda\vec{x}^*\vec{x} = \lambda^*\vec{x}^*\vec{x}$

由于 $\vec{x} \neq \vec{0}$，所以 $\vec{x}^*\vec{x} > 0$，因此 $\lambda = \lambda^*$，即 $\lambda$ 是实数。

性质 2 的证明

证明：设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 是实对称矩阵 $A$ 的两个不同特征值，$\vec{x}_1, \vec{x}_2$ 是对应的特征向量。

$A\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_1$ $A\vec{x}_2 = \lambda_2\vec{x}_2$

第一个等式两边左乘 $\vec{x}_2^T$： $\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1$

由于 $A$ 是对称矩阵： $\vec{x}_2^TA\vec{x}_1 = \vec{x}_2^TA^T\vec{x}_1 = (A\vec{x}_2)^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1$

所以：$\lambda_1\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = \lambda_2\vec{x}_2^T\vec{x}_1$

由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 $\vec{x}_2^T\vec{x}_1 = 0$，即 $\vec{x}_1$ 与 $\vec{x}_2$ 正交。

正交对角化

正交对角化的定义

正交对角化的条件

正交对角化的步骤

步骤：

1. 求特征值：解特征方程 $|A - \lambda I| = 0$
2. 求特征向量：对每个特征值，求对应的特征向量
3. 正交化：对重特征值对应的特征向量进行施密特正交化
4. 单位化：将所有特征向量单位化
5. 构造矩阵：$Q$ 由单位化特征向量组成，$D$ 由特征值组成

例子

例 2：求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的正交对角化形式。

解：

1. 特征方程：$|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
2. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$
3. 特征向量：
   • $\lambda_1 = 1$：$\vec{x}_1 = (1, -1)$
   • $\lambda_2 = 3$：$\vec{x}_2 = (1, 1)$
4. 单位化：
   • $\vec{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$
   • $\vec{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$
5. 构造矩阵：
   • $Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
   • $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
6. 正交对角化形式：$A = QDQ^T$

谱定理

谱定理的表述

谱定理的应用

应用 1：实对称矩阵的幂 $A^n = QD^nQ^T$

应用 2：实对称矩阵的函数 $f(A) = Qf(D)Q^T$

其中 $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots, f(\lambda_n))$。

正定矩阵

正定矩阵的定义

正定矩阵的等价条件

例子

例 3：判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 是否为正定矩阵。

解：

1. 特征值：$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$，都是正数
2. 顺序主子式：$|A_1| = 2 > 0$，$|A_2| = 3 > 0$
3. 所以 $A$ 是正定矩阵

练习题

练习 1

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 是否为实对称矩阵，并说明其特征值是否全为实数。

练习 2

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 的正交对角化形式。

练习 3

证明：实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。

练习 4

判断矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 是否为正定矩阵。

练习 5

设 $A$ 是实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数。

总结

本文出现的符号

中英对照