三维线性变换

一、从二维到三维

二维的核心直觉——“矩阵的每一列 = 基向量的像”——原封不动推广到三维。

三维空间有三条标准基向量：

$$\hat{\imath} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{\jmath} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

设线性变换把三个基向量分别送到：

$$T(\hat{\imath}) = \begin{pmatrix} a \\ d \\ g \end{pmatrix}, \quad T(\hat{\jmath}) = \begin{pmatrix} b \\ e \\ h \end{pmatrix}, \quad T(\hat{k}) = \begin{pmatrix} c \\ f \\ i \end{pmatrix}$$

那么3×3 矩阵：

$$M = \begin{pmatrix} \color{blue}{a} & \color{red}{b} & \color{green}{c} \\ \color{blue}{d} & \color{red}{e} & \color{green}{f} \\ \color{blue}{g} & \color{red}{h} & \color{green}{i} \end{pmatrix}$$

• 第 1 列（蓝）= $\hat{\imath}$ 的像
• 第 2 列（红）= $\hat{\jmath}$ 的像
• 第 3 列（绿）= $\hat{k}$ 的像

二、三维矩阵乘向量

任意向量 $\mathbf{v} = (x, y, z)^T = x\hat{\imath} + y\hat{\jmath} + z\hat{k}$：

$$M\mathbf{v} = x\begin{pmatrix} a \\ d \\ g \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ e \\ h \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} c \\ f \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by + cz \\ dx + ey + fz \\ gx + hy + iz \end{pmatrix}$$

仍是”行 × 列”：结果第 $i$ 个分量 = 矩阵第 $i$ 行与向量逐项相乘相加。

三、三维空间中的”网格”

三维的”网格”是三维格子。线性变换把它变成平行六面体网格：

• 保持直线 ✅
• 保持平行、等距 ✅
• 原点不动 ✅

三维线性变换的直观效果：

绕 z 轴旋转 θ 角

$$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

验证：$\hat{\imath} = (1,0,0) \to (\cos\theta, \sin\theta, 0)$——绕 z 轴旋转 θ 角后的 x 轴方向 ✓；$\hat{k} = (0,0,1) \to (0,0,1)$ 不变 ✓

四、三维中的复合变换

三维矩阵乘法规则与二维完全一样（行 × 列），且同样不满足交换律：

$$M_2 M_1 \neq M_1 M_2 \quad \text{（一般情况）}$$

先作用的矩阵写在右边。例如”先绕 z 旋转再缩放”的复合矩阵 = (缩放矩阵)·(旋转矩阵)。

五、应用：为什么三维线性变换如此重要

图形学的关键技巧：把一个物体的所有顶点先乘以”旋转矩阵”、再乘以”缩放矩阵”，可以预先合并成一个矩阵，再对每个顶点只做一次乘法——大幅提升渲染性能。

六、如何建立三维直觉（练习建议）

1. 想象三个基向量 $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ 分别指向 x、y、z 轴正方向
2. 给定一个 3×3 矩阵，先看它的三列，想象三个基向量分别”飞”到哪
3. 想象整个三维网格跟随基向量变形
4. 用”先作用的矩阵在右边”推导复合变换

总结

本文出现的符号

中英对照