行列式的计算方法

行列式的计算是线性代数中的基本技能，掌握多种计算方法可以提高解题效率。

展开法

按行展开

方法：选择一行，按该行展开行列式。

$|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式。

选择原则：

选择零元素较多的行
选择元素较小的行
选择便于计算的行

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}$

解：选择第二行（有零元素）展开： $|A| = 0 \times (-1)^{2+1} M_{21} + 1 \times (-1)^{2+2} M_{22} + 4 \times (-1)^{2+3} M_{23}$ $= 0 - M_{21} + M_{22} - 4M_{23}$ $= M_{22} - 4M_{23}$ $= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ $= (1 \times 0 - 3 \times 5) - 4(1 \times 6 - 2 \times 5)$ $= -15 - 4(-4) = -15 + 16 = 1$

按列展开

方法：选择一列，按该列展开行列式。

$|A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

例子：计算 $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

解：选择第二列（有零元素）展开： $|A| = 0 \times (-1)^{1+2} M_{12} + 3 \times (-1)^{2+2} M_{22} + 2 \times (-1)^{3+2} M_{32}$ $= -0 \times M_{12} + 3 \times M_{22} - 2 \times M_{32}$ $= 3M_{22} - 2M_{32}$ $= 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$ $= 3(2 \times 4 - 1 \times 0) - 2(2 \times 0 - 1 \times 1)$ $= 3(8) - 2(-1) = 24 + 2 = 26$

性质法

利用基本性质简化

策略：

利用行（列）加法性质，将行列式化为上三角或下三角形式
利用行（列）交换性质，将零元素较多的行（列）移到便于展开的位置
利用提取公因子性质，简化计算

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

解：

将第一行的-2 倍加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$
将第一行的-3 倍加到第三行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
由于有一行全为零，所以行列式为零。

分块法

适用条件：行列式可以分块，且某些块为零或为单位矩阵。

对于 $\begin{vmatrix} A & B \\ 0 & D \end{vmatrix}$ ，有 $|A| \cdot |D|$
对于 $\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & D \end{vmatrix}$ ，有 $|A| \cdot |D|$

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

解：这是一个分块对角矩阵： $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ $= (1 \times 4 - 2 \times 3) \times (2 \times 4 - 1 \times 3)$ $= (4 - 6) \times (8 - 3) = (-2) \times 5 = -10$

特殊方法

范德蒙德行列式

形如 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$ 的行列式。

$|V| = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}$

解： $|V| = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2$

循环行列式

形如 $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$ 的行列式。

$|A| = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

解： $|A| = 1^3 + 2^3 + 3^3 - 3 \times 1 \times 2 \times 3$ $= 1 + 8 + 27 - 18 = 18$

计算技巧

观察法

技巧：

观察行列式是否有特殊结构
寻找零元素较多的行或列
寻找成比例的行或列
寻找可以分块的结构

递推法

适用：n 阶行列式与(n-1)阶行列式有关系。

例子：计算 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

解：按第一行展开： $|A| = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

继续展开得到递推关系。

练习题

练习 1

计算行列式 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ 。

参考答案

行列式行列式计算展开法

解题思路：按第一行展开计算。

详细步骤：

$|A| = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$
$= 2(3 \times 4 - 2 \times 1) - 1(1 \times 4 - 2 \times 0) + 0$
$= 2(12 - 2) - 1(4) = 2(10) - 4 = 20 - 4 = 16$

最终答案：行列式的值为 16。

练习 2

利用性质法计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ 。

参考答案

行列式行列式计算展开法

解题思路：利用行加法性质简化计算。

详细步骤：

将第一行的-2 倍加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
由于第二行全为零，所以行列式为零。

最终答案：行列式的值为 0。

练习 3

计算范德蒙德行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{vmatrix}$ 。

参考答案

行列式行列式计算展开法范德蒙德行列式

解题思路：使用范德蒙德行列式的公式。

详细步骤：

$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 4$
$|V| = (2-1)(4-1)(4-2) = 1 \times 3 \times 2 = 6$

最终答案：行列式的值为 6。

练习 4

计算分块行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$ 。

参考答案

行列式行列式计算展开法行列式的性质

解题思路：利用分块行列式的性质。

详细步骤：

这是一个分块对角矩阵
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$
$= (1 \times 4 - 2 \times 3)^2 = (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4$

最终答案：行列式的值为 4。

练习 5

计算循环行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ 。

参考答案

行列式行列式计算展开法循环行列式

解题思路：使用循环行列式的公式。

详细步骤：

$a = b = c = 1$
$|A| = 1^3 + 1^3 + 1^3 - 3 \times 1 \times 1 \times 1 = 3 - 3 = 0$

最终答案：行列式的值为 0。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lvert A\rvert$	数学符号	determinant of A	矩阵 $A$ 的行列式值
$M_{ij}$	数学符号	minor M i j	元素 $a_{ij}$ 的余子式，去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后的子行列式
$(-1)^{i+j}$	数学符号	sign factor	按行（列）展开时的代数符号因子
$\lvert V\rvert$	数学符号	determinant of V	范德蒙德行列式
$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$	数学符号	product over i less than j	范德蒙德行列式的乘积公式

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
行列式展开	determinant expansion	/dɪˈtɜːmɪnənt ɪkˈspænʃən/	按行或列将行列式降阶展开计算
余子式	minor	/ˈmaɪnə/	去掉元素所在行和列后的子行列式 $M_{ij}$
范德蒙德行列式	Vandermonde determinant	/ˈvændəmɒnd dɪˈtɜːmɪnənt/	形如 $\prod_{i<j}(x_j-x_i)$ 的特殊行列式
循环行列式	circulant determinant	/ˈsɜːkjələnt dɪˈtɜːmɪnənt/	行元素循环排列的行列式， $a^3+b^3+c^3-3abc$
分块行列式	block determinant	/blɒk dɪˈtɜːmɪnənt/	按分块结构拆分计算的行列式
上三角行列式	upper triangular determinant	/ˈʌpə traɪˈæŋɡjələ dɪˈtɜːmɪnənt/	化为上三角后等于主对角线元素乘积

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