克拉默法则

克拉默法则的定义

克拉默法则

设 n 元线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

如果系数矩阵 $A = (a_{ij})$ 的行列式 $\det(A) \neq 0$ ，则方程组有唯一解： $x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \qquad (j=1,2,\dots,n)$

其中 $A_j$ 是将系数矩阵 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数项 $\vec{b}$ 后得到的矩阵。

克拉默法则的条件

条件：

方程组必须是 n 个方程 n 个未知数（方阵）
系数矩阵的行列式 $|A| \neq 0$

注意：当 $|A| = 0$ 时，克拉默法则不适用，需要用其他方法求解。

克拉默法则的证明

证明思路：

设 $A\vec{x} = \vec{b}$ 有唯一解 $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$
利用伴随矩阵的性质： $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
得到 $x_i = \frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j$
其中 $A_{ji}$ 是 $A$ 的代数余子式
可以证明 $\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j = |A_i|$

克拉默法则的应用

求解步骤

检查条件：确认方程组是 n×n 的，且 $|A| \neq 0$
计算 $|A|$ ：计算系数矩阵的行列式
计算 $|A_i|$ ：将第 i 列替换为常数项向量，计算行列式
求解： $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$

例子

例 1：用克拉默法则解方程组： $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$

解：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
$|A| = 1 \times (-1) - 2 \times 3 = -1 - 6 = -7 \neq 0$
$|A_1| = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 5 \times (-1) - 2 \times 4 = -5 - 8 = -13$
$|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 5 \times 3 = 4 - 15 = -11$
$x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}$ ， $y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}$

克拉默法则的优缺点

优点

理论意义：给出了解的显式表达式
计算简单：对于小规模方程组，计算相对简单
精确解：可以得到精确的分数解

缺点

计算量大：对于大规模方程组，需要计算多个行列式
条件限制：只适用于方阵且行列式不为零的情况
数值稳定性：当行列式接近零时，计算误差较大

克拉默法则的推广

齐次方程组

齐次方程组有非零解的充要条件

齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$ 有非零解的充要条件是 $|A| = 0$ 。

证明

证明：

如果 $|A| \neq 0$ ，则只有零解
如果 $|A| = 0$ ，则有无穷多解，包括非零解

非方阵情况

对于 m×n 的方程组（m ≠ n），克拉默法则不适用，需要用其他方法求解。

练习题

练习 1

用克拉默法则解方程组 $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -4 \end{cases}$ 。

参考答案

克拉默法则线性方程组行列式系数矩阵

解题思路：按照克拉默法则的步骤求解。

详细步骤：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$|A| = 2 \times (-3) - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$
$|A_1| = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} = 7 \times (-3) - 1 \times (-4) = -21 + 4 = -17$
$|A_2| = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) - 7 \times 1 = -8 - 7 = -15$
$x = \frac{-17}{-7} = \frac{17}{7}$ ， $y = \frac{-15}{-7} = \frac{15}{7}$

最终答案： $x = \frac{17}{7}$ ， $y = \frac{15}{7}$

练习 2

判断方程组 $\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \end{cases}$ 是否可以用克拉默法则求解。

参考答案

克拉默法则线性方程组行列式系数矩阵

解题思路：检查系数矩阵的行列式。

详细步骤：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$
$|A| = 1 \times 2 - 1 \times 2 = 2 - 2 = 0$
行列式为零，克拉默法则不适用

最终答案：不能用克拉默法则求解

练习 3

用克拉默法则解方程组 $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$ 。

参考答案

克拉默法则线性方程组行列式系数矩阵

解题思路：按照克拉默法则的步骤求解三元方程组。

详细步骤：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$
$|A| = 1 \times (3 \times 2 - 1 \times (-1)) - 1 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (2 \times (-1) - 3 \times 1) = 1 \times 7 - 1 \times 3 + 1 \times (-5) = 7 - 3 - 5 = -1 \neq 0$
$|A_1| = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 13 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \times (3 \times 2 - 1 \times (-1)) - 1 \times (13 \times 2 - 1 \times 4) + 1 \times (13 \times (-1) - 3 \times 4) = 6 \times 7 - 1 \times 22 + 1 \times (-25) = 42 - 22 - 25 = -5$
$|A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 13 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times (13 \times 2 - 1 \times 4) - 6 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (2 \times 4 - 13 \times 1) = 1 \times 22 - 6 \times 3 + 1 \times (-5) = 22 - 18 - 5 = -1$
$|A_3| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 13 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times (3 \times 4 - 13 \times (-1)) - 1 \times (2 \times 4 - 13 \times 1) + 6 \times (2 \times (-1) - 3 \times 1) = 1 \times 25 - 1 \times (-5) + 6 \times (-5) = 25 + 5 - 30 = 0$
$x = \frac{-5}{-1} = 5$ ， $y = \frac{-1}{-1} = 1$ ， $z = \frac{0}{-1} = 0$

最终答案： $x = 5$ ， $y = 1$ ， $z = 0$

练习 4

证明：如果齐次线性方程组 $A\vec{x} = \vec{0}$ 有非零解，则 $|A| = 0$ 。

参考答案

克拉默法则线性方程组行列式解的判定

解题思路：利用克拉默法则和反证法。

详细步骤：

假设 $|A| \neq 0$
根据克拉默法则，方程组有唯一解
由于是齐次方程组，唯一解是零解
这与有非零解矛盾
所以 $|A| = 0$

最终答案：证明完成

练习 5

判断方程组 $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$ 的解的情况。

参考答案

克拉默法则线性方程组行列式系数矩阵

解题思路：先检查行列式，再分析解的情况。

详细步骤：

系数矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$
克拉默法则不适用
观察两个方程：第二个方程是第一个方程的 2 倍
两个方程等价，有无穷多解

最终答案：有无穷多解

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\det(A)$	数学符号	determinant of A	系数矩阵 $A$ 的行列式，克拉默法则要求其 $\det(A) \neq 0$
$x_j = \dfrac{\det(A_j)}{\det(A)}$	数学符号	x sub j equals A j over A	克拉默法则：第 $j$ 个未知数等于两个行列式之比
$A_j$	数学符号	A sub j	将 $A$ 的第 $j$ 列换成常数项 $\vec{b}$ 所得矩阵
$A^*$	数学符号	A star	伴随矩阵，用于 $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}A^*$
$A_{ji}$	数学符号	A sub j i	行列式中的代数余子式
$A\vec{x} = \vec{0}$	数学符号	A x equals zero	齐次方程组，有非零解 ⟺ $\det(A) = 0$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
克拉默法则	Cramer’s rule	/ˈkrɑːməz ruːl/	用行列式比值 $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ 求解 $n×n$ 方程组
系数行列式	determinant of coefficients	/dɪˈtɜːmɪnənt/	系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$ ，须非零
伴随矩阵	adjugate matrix	/ˈædʒʊɡət ˈmeɪtrɪks/	由代数余子式转置排成， $A^{-1} = A^*/\det(A)$
代数余子式	cofactor	/kəʊˈfæktə/	划去行列后带符号的子行列式 $A_{ji}$
非零解	nontrivial solution	/ˌnɒnˈtraɪvɪəl səˈluːʃn/	齐次方程组中除零解外的解，存在 ⟺ $\det(A) = 0$
方阵	square matrix	/skweə ˈmeɪtrɪks/	行数等于列数的矩阵，克拉默法则的适用前提

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