特征值与特征向量的基本概念

特征值与特征向量的定义

特征值的定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在非零向量 $\vec{x}$ 和数 $\lambda$ ，使得： $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值， $\vec{x}$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征向量的定义

满足 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ 的非零向量 $\vec{x}$ 称为矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征子空间

对应于特征值 $\lambda$ 的所有特征向量加上零向量构成的子空间称为特征子空间，记为 $E_\lambda$ 。

特征方程

特征多项式的定义

矩阵 $A$ 的特征多项式定义为： $f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$

其中 $I$ 是单位矩阵， $\lambda$ 是变量， $\det$ 表示行列式。

特征方程

方程 $|A - \lambda I| = 0$ 称为矩阵 $A$ 的特征方程。

特征值的求法

步骤：

写出特征方程 $|A - \lambda I| = 0$
求解特征方程得到特征值
对每个特征值，求解齐次方程组 $(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}$ 得到特征向量

例子

例 1：求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

解：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$
求解： $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 3$
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
对于 $\lambda = 3$ $λ = 3$ ：
- 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 1)$

特征值与特征向量的性质

基本性质

性质 1： $n$ 阶矩阵有 $n$ 个特征值（重数计算在内）。

性质 2：特征值的和等于矩阵的迹： $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$

性质 3：特征值的积等于矩阵的行列式： $\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$

特征向量的性质

性质 1：对应于不同特征值的特征向量线性无关。

性质 2：对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量。

性质 3：特征向量不是唯一的，但特征值是唯一的。

特征多项式的性质

性质 1：特征多项式的次数等于矩阵的阶数。

性质 2：特征多项式的常数项等于 $(-1)^n|A|$ 。

性质 3：特征多项式的最高次项系数为 $(-1)^n$ 。

特征值的重数

代数重数

特征值 $\lambda$ 在特征多项式中作为根的重数称为代数重数。

几何重数

对应于特征值 $\lambda$ 的线性无关特征向量的最大个数称为几何重数。

重数的关系

几何重数 ≤ 代数重数

证明

证明：几何重数等于特征子空间的维数，而特征子空间的维数不超过代数重数。

特征值与特征向量的计算

计算步骤

写出特征方程： $|A - \lambda I| = 0$
求解特征值：解特征方程得到所有特征值
求特征向量：对每个特征值，解齐次方程组 $(A - \lambda I)\vec{x} = \vec{0}$
验证结果：验证 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ 是否成立

注意事项

特征向量非零：特征向量不能是零向量
特征向量不唯一：同一特征值对应的特征向量有无穷多个
重根处理：重根对应的特征向量需要特殊处理
复数特征值：特征值可能是复数

练习题

练习 1

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

特征值特征向量特征方程向量

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(3-\lambda)(2-\lambda) = 0$
求解： $\lambda = 2$ 或 $\lambda = 3$
对于 $\lambda = 2$ $λ = 2$ ：
- 解方程组 $(A - 2I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$
对于 $\lambda = 3$ $λ = 3$ ：
- 解方程组 $(A - 3I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

最终答案：特征值 $\lambda_1 = 2$ ， $\lambda_2 = 3$ ；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, -1)$ ， $\vec{x}_2 = (1, 0)$

练习 2

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

特征值特征向量特征方程向量

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $(1-\lambda)^2 = 0$
求解： $\lambda = 1$ （二重根）
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

最终答案：特征值 $\lambda = 1$ （二重根）；对应特征向量 $\vec{x} = (1, 0)$

练习 3

证明：对应于不同特征值的特征向量线性无关。

参考答案

特征值特征向量特征方程向量

解题思路：用反证法证明。

详细步骤：

假设对应于不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ 的特征向量 $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_k$ 线性相关
则存在不全为零的常数 $c_1, c_2, \dots, c_k$ ，使得 $c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2 + \dots + c_k\vec{x}_k = \vec{0}$
设 $c_1 \neq 0$ ，则 $\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\vec{x}_k$
两边左乘 $A$ ： $A\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}A\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}A\vec{x}_k$
即 $\lambda_1\vec{x}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\lambda_2\vec{x}_2 - \dots - \frac{c_k}{c_1}\lambda_k\vec{x}_k$
这与特征值不同矛盾

最终答案：证明完成

练习 4

设矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, 3$ ，求 $|A|$ 和 $\operatorname{tr}(A)$ 。

参考答案

特征值特征向量特征方程行列式

解题思路：利用特征值的性质。

详细步骤：

特征值的积等于行列式： $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$
特征值的和等于迹： $\operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + 3 = 6$

最终答案： $|A| = 6$ ， $\operatorname{tr}(A) = 6$

练习 5

求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。

参考答案

特征值特征向量特征方程向量

解题思路：按照特征值和特征向量的求法步骤。

详细步骤：

特征方程： $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
展开： $\lambda^2 - 1 = 0$
求解： $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$
对于 $\lambda = 1$ $λ = 1$ ：
- 解方程组 $(A - I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, 1)$
对于 $\lambda = -1$ $λ = - 1$ ：
- 解方程组 $(A + I)\vec{x} = \vec{0}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
- 得到特征向量 $\vec{x} = (1, -1)$

最终答案：特征值 $\lambda_1 = 1$ ， $\lambda_2 = -1$ ；对应特征向量 $\vec{x}_1 = (1, 1)$ ， $\vec{x}_2 = (1, -1)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lambda$	希腊字母	Lambda（兰姆达）	矩阵 $A$ 的特征值，满足 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$
$\vec{x}$	数学符号	x vector	对应于特征值的特征向量（非零）
$A\vec{x} = \lambda\vec{x}$	数学符号	A x equals lambda x	特征值与特征向量的定义式
$E_\lambda$	数学符号	E sub lambda	特征子空间，对应于 $\lambda$ 的全部特征向量加零向量
$f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$	数学符号	characteristic polynomial of A	矩阵 $A$ 的特征多项式
$I$	数学符号	identity matrix	单位矩阵
$\lvert A - \lambda I\rvert = 0$	数学符号	determinant of (A minus lambda I) equals zero	特征方程
$\operatorname{tr}(A)$	数学符号	trace of A	矩阵的迹，等于特征值之和 $\sum_{i=1}^n \lambda_i$
$\lvert A\rvert$	数学符号	determinant of A	矩阵的行列式，等于特征值之积 $\prod_{i=1}^n \lambda_i$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
特征值	eigenvalue	/ˈaɪɡənˌvæljuː/	满足 $A\vec{x} = \lambda\vec{x}$ 的数 $\lambda$
特征向量	eigenvector	/ˈaɪɡənˌvektə/	满足定义式的非零向量 $\vec{x}$
特征方程	characteristic equation	/ˌkærəktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒən/	$\lvert A - \lambda I\rvert = 0$
特征多项式	characteristic polynomial	/ˌkærəktəˈrɪstɪk ˌpɒliˈnəʊmiəl/	$f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$
特征子空间	eigenspace	/ˈaɪɡənspeɪs/	对应于 $\lambda$ 的特征向量加零向量构成的子空间 $E_\lambda$
代数重数	algebraic multiplicity	/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˌmʌltɪˈplɪsəti/	特征值作为特征多项式根的重数
几何重数	geometric multiplicity	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˌmʌltɪˈplɪsəti/	对应特征值的线性无关特征向量个数，不超过代数重数
迹	trace	/treɪs/	特征值之和 $\operatorname{tr}(A)$
行列式	determinant	/dɪˈtɜːmɪnənt/	特征值之积 $\lvert A\rvert$

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