线性方程组

线性方程组看起来是初中就解过的东西，但”一个方程组什么时候有解、有解时解有多少个”这三个问题，只有在引入线性代数的语言后才能被彻底回答。答案是：看系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等。

本章从方程组的基本概念出发，区分齐次与非齐次两类问题的本质差异。然后给出三种解法路径：高斯消元法是通用的算法手段，克拉默法则在方程个数等于未知数个数时能给出显式解（但计算量大），而解的结构分析——基础解系与通解——才是真正回答”解有多少个”的钥匙。

尤其要注意齐次与非齐次在结构上的区别：齐次方程组的解集是零空间，本身就是一个线性空间；而非齐次方程组的解集是”一个特解加上零空间”，是一个仿射空间，不含原点。这个区别在后面的对偶、最小二乘等问题里会反复用到。