矩阵乘法：复合变换

一、复合变换：连续做两次变换

想象先做一次旋转，再做一次剪切——这就是复合变换（composition）：一个变换接着另一个变换。

向量 v ──(先) T₁──► T₁(v) ──(后) T₂──► T₂(T₁(v))

关键问题：两次线性变换的复合，还是线性变换吗？

是的。 因为线性变换保持直线、保持平行等距，做两次仍然保持——所以复合结果仍是线性变换，一定可以用一个矩阵表示。这个矩阵就是两个矩阵的乘积。

二、矩阵乘法的顺序：从右往左

设变换 $T_1$ 的矩阵是 $M_1$，变换 $T_2$ 的矩阵是 $M_2$。先应用 $M_1$、再应用 $M_2$，复合变换记为：

注意：先作用的矩阵写在右边！$M_2 M_1$ 表示”先 $M_1$ 后 $M_2$”。

M₂M₁·v = M₂(M₁·v)
 └┬─┘ └┬┘
 先 M₁   后 M₂

几何直觉：函数记号 $f(g(x))$ 是先算 $g$ 再算 $f$。矩阵乘法同理，最右边的矩阵最先作用。

例：先旋转 90° 再剪切 ≠ 先剪切再旋转 90°

三、矩阵乘法公式

设 $M_1 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，$M_2 = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$，则复合 $M_2 M_1$ 为：

记忆法：

• 结果的第 $i$ 行第 $j$ 列 = $M_2$ 第 $i$ 行 × $M_1$ 第 $j$ 列（逐项相乘相加）
• 几何验证：乘积矩阵的第 1 列 = $M_1$ 的 $\hat{\imath}$ 像 $(a,c)$ 经过 $M_2$ 变换后的位置，即 $M_2 \cdot (a,c)^T$

例：M₁ = 旋转90° [[0,-1],[1,0]]，M₂ = 剪切 [[1,1],[0,1]]
先旋转再剪切：
M₂M₁ = [[1,1],[0,1]]·[[0,-1],[1,0]]
     = [[1·0+1·1, 1·(-1)+1·0], [0·0+1·1, 0·(-1)+1·0]]
     = [[1, -1],[1, 0]]

四、交互演示：先 A 后 B 与先 B 后 A

操作与观察：

• 切换”先旋转再剪切”与”先剪切再旋转”
• 对比两种顺序的最终网格——完全不同！
• 确认：先作用的矩阵写在乘积的右边

五、矩阵乘法的意义

在图形学中的意义：一个物体可能先缩放、再旋转、再平移（实际是齐次坐标下的仿射变换），可以预先把这些矩阵相乘成一个矩阵，再对每个顶点只做一次矩阵乘法——这正是 GPU 渲染的原理之一。

总结

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中英对照