二次型

二次型是形如 $f(x)=x^TAx$ 的表达式。它看起来只是多项式的一个特殊形式，但在理论上极重要——它统一了”椭圆与双曲线”、“正定与不定”、“能量函数”等一大类问题的结构。

本章先给出二次型的定义与它的对称矩阵表示，说明为什么只考虑对称矩阵就足够了：任何矩阵 $A$ 都可以拆成对称部分与反对称部分，而 $x^TAx$ 只与对称部分有关。接着讨论合同变换：在换基时二次型矩阵如何变化，为什么标准形的”惯性指数”（正、负、零特征值的个数）在任何基下都不变——这与上一章的相似关系恰好构成一对。最后是正定性：它等价于所有特征值为正，也等价于矩阵合同于单位阵，这个多重等价是本章最值得记住的结论。

二次型把前面所有内容串了起来：对角化得到标准形，相似保证特征值不变，而合同则进一步揭示了不随基改变的不变量。