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矩阵就是线性变换

一、核心思想：记录基向量的去向

上一节说过：只要知道基向量 ı^\hat{\imath}、ȷ^\hat{\jmath} 变到哪，整个线性变换就确定了。矩阵就是记录这个”去向”的表格。

设线性变换 TT 满足：

T(ı^)=(ac),T(ȷ^)=(bd)T(\hat{\imath}) = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad T(\hat{\jmath}) = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}

那么用一个 2×2 矩阵记录：

M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
  • 第 1 列 (a,c)T(a, c)^T = ı^\hat{\imath} 变换后的位置
  • 第 2 列 (b,d)T(b, d)^T = ȷ^\hat{\jmath} 变换后的位置

矩阵的每一列，就是对应基向量变换后的像。

二、矩阵乘向量：如何得到任意向量的像

任意向量 v=(x,y)T=xı^+yȷ^\mathbf{v} = (x, y)^T = x\hat{\imath} + y\hat{\jmath}，由线性性：

T(v)=x T(ı^)+y T(ȷ^)=x(ac)+y(bd)=(ax+bycx+dy)T(\mathbf{v}) = x\,T(\hat{\imath}) + y\,T(\hat{\jmath}) = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

这就是矩阵乘法的定义：

 Mv=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy) \boxed{\,M\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}\,}

计算规则

“行 × 列”：结果第 ii 个分量 = 矩阵第 ii 行与向量逐项相乘再相加。

(abcd)(xy)=(a⋅x+b⋅yc⋅x+d⋅y)\begin{pmatrix} \color{blue}{a} & \color{blue}{b} \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{a \cdot x + b \cdot y} \\ c \cdot x + d \cdot y \end{pmatrix} 
例：M = [[2, 0], [0, 0.5]]（x 拉伸 2 倍，y 压缩一半）
M·(1, 1) = (2×1 + 0×1, 0×1 + 0.5×1) = (2, 0.5)

三、交互演示：看矩阵如何”动”空间

关键观察：

  • 矩阵第 1 列 (a,c)(\color{blue}{a}, \color{blue}{c}) = 蓝色基向量 ı^\hat{\imath} 的新位置
  • 矩阵第 2 列 (b,d)(\color{red}{b}, \color{red}{d}) = 红色基向量 ȷ^\hat{\jmath} 的新位置
  • 改矩阵元素 → 网格跟着变 → 矩阵和变换是同一件事的两种写法

四、几个常见矩阵及其几何意义

矩阵变换几何效果
(1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}恒等变换什么都不变
(0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}旋转 90°逆时针旋转四分之一圈
(2000.5)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}缩放x 拉长 2 倍，y 压缩一半
(1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}水平剪切垂直方向不变，水平按 y 偏移
(−1001)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}反射关于 y 轴镜像

验证旋转矩阵：ı^=(1,0)→(0,1)\hat{\imath} = (1,0) \to (0,1)，ȷ^=(0,1)→(−1,0)\hat{\jmath} = (0,1) \to (-1,0)——逆时针旋转 90° 后，x 轴正方向转到 y 轴正方向，y 轴正方向转到 x 轴负方向 ✓

五、为什么第 1 列就是 î 的像

把 ı^=(1,0)T\hat{\imath} = (1, 0)^T 代入矩阵乘法：

Mı^=(abcd)(10)=(a⋅1+b⋅0c⋅1+d⋅0)=(ac)M\hat{\imath} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 1 + b\cdot 0 \\ c\cdot 1 + d\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}

正好取出第 1 列。同理 Mȷ^M\hat{\jmath} 取出第 2 列。这就是”列 = 基向量的像”的代数证明。

小结

  • 矩阵的第 1 列 = ı^\hat{\imath} 的像，第 2 列 = ȷ^\hat{\jmath} 的像
  • 矩阵乘向量：Mv=(ax+bycx+dy)M\mathbf{v} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix}（行 × 列）
  • 看到矩阵就问：它把基向量移到哪了？
  • 常见矩阵：恒等、旋转、缩放、剪切、反射
  • 矩阵 = 线性变换的”记录表”

下一节看多个变换叠加：矩阵乘法：复合变换。

上一章节三维线性变换把线性变换的直觉扩展到三维空间，理解 3×3 矩阵与三维变换，了解在图形学与机器学习中的应用。
下一章节矩阵乘法：复合变换理解矩阵乘法就是复合变换，掌握"先应用右侧矩阵"的顺序规则与矩阵乘法公式。
线性代数