极值的判定方法

解题思路： 使用导数法求极值，结合图像法验证。

详细步骤：

1. 求导数： $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

2. 求驻点： 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 2$

3. 判断极值类型：

   • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) > 0$（函数递增）
   • 当 $0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$（函数递减）
   • 当 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$（函数递增）

4. 结论：

   • $x = 0$ 是极大值点
   • $x = 2$ 是极小值点

5. 计算极值：

   • $f(0) = 2$（极大值）
   • $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$（极小值）

答案： 函数在 $x = 0$ 处取得极大值 $2$，在 $x = 2$ 处取得极小值 $-2$。

解题思路： 这是一个不可导函数，需要特殊处理。

详细步骤：

1. 分析函数性质： $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导，但连续。

2. 使用数值比较法：

   • $f(0) = 0$
   • 对于任意 $x \neq 0$，$f(x) > 0$

3. 结论： $x = 0$ 是极小值点，极小值为 $0$。

4. 验证： 函数在 $x = 0$ 处达到全局最小值。

答案： 函数在 $x = 0$ 处取得极小值 $0$。

解题思路： 使用导数法求极值。

详细步骤：

1. 求导数： $f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$

2. 求驻点： 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = \pm\sqrt{2}$

3. 判断极值类型：

   • 当 $x < -\sqrt{2}$ 时，$f'(x) < 0$
   • 当 $-\sqrt{2} < x < 0$ 时，$f'(x) > 0$
   • 当 $0 < x < \sqrt{2}$ 时，$f'(x) < 0$
   • 当 $x > \sqrt{2}$ 时，$f'(x) > 0$

4. 结论：

   • $x = -\sqrt{2}$ 是极小值点
   • $x = 0$ 是极大值点
   • $x = \sqrt{2}$ 是极小值点

5. 计算极值：

   • $f(-\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4$（极小值）
   • $f(0) = 0$（极大值）
   • $f(\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4$（极小值）

答案： 函数在 $x = 0$ 处取得极大值 $0$，在 $x = \pm\sqrt{2}$ 处取得极小值 $-4$。

解题思路： 使用导数法求极值。

详细步骤：

1. 求导数： $f'(x) = \cos x - \sin x$

2. 求驻点： 令 $f'(x) = 0$，得 $\cos x = \sin x$ 即 $\tan x = 1$，所以 $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$ 在 $[0, 2\pi]$ 上，驻点为 $x = \frac{\pi}{4}$ 和 $x = \frac{5\pi}{4}$

3. 判断极值类型：

   • 当 $0 < x < \frac{\pi}{4}$ 时，$f'(x) > 0$
   • 当 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$ 时，$f'(x) < 0$
   • 当 $\frac{5\pi}{4} < x < 2\pi$ 时，$f'(x) > 0$

4. 结论：

   • $x = \frac{\pi}{4}$ 是极大值点
   • $x = \frac{5\pi}{4}$ 是极小值点

5. 计算极值：

   • $f(\frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$（极大值）
   • $f(\frac{5\pi}{4}) = \sin\frac{5\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$（极小值）

答案： 函数在 $x = \frac{\pi}{4}$ 处取得极大值 $\sqrt{2}$，在 $x = \frac{5\pi}{4}$ 处取得极小值 $-\sqrt{2}$。