指数函数

解题思路：

指数函数 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的底数为正数，所以对任意实数 $x$ 都有意义；又因为正底数的任意实数次幂恒为正数，函数值取不到 $0$ 或负数。

详细步骤：

1. 对任意 $x \in \mathbb{R}$，由于 $a > 0$，实数幂 $a^x$ 都有确定的正值，所以定义域是 $\mathbb{R}$。
2. $a^x > 0$ 恒成立，因此函数值恒为正数，值域中不含 $0$ 与负数。
3. 当 $x \to +\infty$ 时 $a^x \to +\infty$，当 $x \to -\infty$ 时 $a^x \to 0^+$ 但始终不取到 $0$，所以值域为 $(0, +\infty)$。

最终答案：

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$(0, +\infty)$。

解题思路：

指数函数的判定标准是：能写成 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的形式，即自变量只出现在指数位置。把四个函数逐个对照这一标准。

详细步骤：

1. $y = 3^x$ 是底数 $a = 3$ 的指数函数，满足 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。
2. $y = x^3$ 的自变量处在底数位置，是幂函数而不是指数函数。
3. $y = 2^{-x} = (1/2)^x$，底数 $1/2 > 0$ 且 $\neq 1$，因此仍是指数函数。
4. $y = e^x$ 是以自然常数 $e$ 为底的指数函数。

最终答案：

$y = 3^x$、$y = 2^{-x}$、$y = e^x$ 是指数函数，$y = x^3$ 不是。

解题思路：

先抓住指数函数的两个关键性质：图像过定点 $(0, 1)$，且底数在 $1$ 的上方时递增、在 $1$ 与 $0$ 之间时递减。由此确定两条曲线的走向并作比较。

详细步骤：

1. 两条曲线都过点 $(0, 1)$，这是所有指数函数的共同特征。
2. 对 $y = 2^x$，底数 $2 > 1$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，图像自左下方趋近 $x$ 轴、向右上方无限增长。
3. 对 $y = (1/2)^x$，底数 $0 < 1/2 < 1$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，图像自左上方无限增长、向右下方趋近 $x$ 轴。
4. 由于 $(1/2)^x = 2^{-x}$，两条图像关于 $y$ 轴对称，单调方向恰好相反。

最终答案：

$y = 2^x$ 单调递增，$y = (1/2)^x$ 单调递减。

解题思路：

渐近线是图像无限接近但不与它相交的直线。对 $y = a^x$（$a > 1$），考察 $x$ 趋于负无穷时函数值的变化，即可判断图像在哪条直线附近无限接近。

详细步骤：

1. 当 $x \to -\infty$ 时，$a^x = \frac{1}{a^{-x}} \to 0^+$。
2. 图像在 $x$ 无限左移时无限贴近 $x$ 轴，但函数值恒为正，从不与 $x$ 轴相交。
3. 所以 $x$ 轴（$y = 0$）就是 $y = a^x$（$a > 1$）的水平渐近线。

最终答案：

$x$ 轴（$y=0$）为其渐近线。

解题思路：

判断是否为指数函数，只需检验能否写成 $y = a^x$ 且底数满足 $a > 0$、$a \neq 1$。

详细步骤：

1. $y = (-2)^x$ 的底数为 $-2$，不满足 $a > 0$ 的要求。
2. 当 $x = \frac{1}{2}$ 时 $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ 在实数范围内没有意义；一般地，负底数的任意实数次幂都无法在整个 $\mathbb{R}$ 上取到有意义的实数值。
3. 由于指数函数要求底数为正，$(-2)^x$ 不能作为指数函数讨论。

最终答案：

不是。指数函数的底数 $a$ 必须大于 0 且不等于 1。

解题思路：

由已知的函数值反推底数：指数函数 $y = a^x$ 在 $x = 0$ 时恒等于 $1$，在 $x = 1$ 时取值恰为底数 $a$ 本身。

详细步骤：

1. 当 $x = 0$ 时 $y(0) = a^0 = 1$，与题设的 $y(0) = 1$ 一致，说明该底数满足 $a > 0$、$a \neq 1$。
2. 当 $x = 1$ 时 $y(1) = a^1 = a$。
3. 由 $y(1) = 3$ 得 $a = 3$，且 $3 > 0$ 且 $3 \neq 1$，符合指数函数对底数的要求。

最终答案：

$y(1) = a^1 = 3$，所以 $a = 3$。

解题思路：

逐个检查选项能否写成 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的形式，即自变量是否只出现在指数位置。

详细步骤：

1. (A) $y = 2^x$ 的底数为 $2 > 0$ 且 $\neq 1$，是指数函数。
2. (B) $y = x^2$ 的自变量在底数位置，是幂函数，不是指数函数。
3. (C) $y = e^x$ 的底数为自然常数 $e > 0$ 且 $\neq 1$，是指数函数。
4. (D) $y = 2^{-x} = (1/2)^x$，底数 $1/2 > 0$ 且 $\neq 1$，是指数函数。

最终答案：

(A)、(C)、(D) 是指数函数，(B) 不是。

解题思路：

指数函数的单调性只由底数与 $1$ 的大小关系决定：底数大于 $1$ 时递增，底数在 $0$ 与 $1$ 之间时递减。

详细步骤：

1. 对任意 $x_1 < x_2$，由于 $0 < a < 1$，底数小于 $1$ 时幂值随指数增大而减小，即 $a^{x_1} > a^{x_2}$。
2. 因此 $y = a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。
3. 相应地，图像自左上方无限增长、向右下方趋近于 $x$ 轴，与 $a > 1$ 时的图像关于 $y$ 轴对称。

最终答案：

$y$ 单调递减。