函数的定义

定义

函数的定义

设有两个变量 $x$ 和 $y$ ，如果对于变量 $x$ 在某个范围 $D$ 内的每一个值，变量 $y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作

y = f(x)

其中， $x$ 称为自变量， $y$ 称为因变量， $D$ 称为函数的定义域。

函数的"函"字是什么意思？在汉语中，"函"字还可以组成哪些词汇？

“函”字是一个象形字，在古文字中，它的形状像是一个装东西的匣子或盒子。在古汉语中，“函”字最初指的是”匣子”、“盒子”的意思，后来引申为”包含”、“容纳”的含义。在数学中，函数（function）的”函”字体现了这种”包含”和”对应”的关系——一个函数就像一个盒子，对于每个输入值（自变量），都能从中”取出”唯一确定的输出值（因变量）。

在汉语中，“函”字还可以组成以下词汇：

信函：指书信，体现了”函”作为容器的含义（信件装在信封里）
函数：数学中的对应关系，体现了输入和输出的对应
公函：官方往来的信件
函件：泛指信件、文件
函授：通过书信进行教学的方式
函谷关：古代关隘名称（函谷指山谷像匣子一样）

这些词汇都体现了”函”字”包含”、“容纳”的核心含义，而数学中的”函数”则进一步强调了这种一对一的对应关系。

练习题

练习 1

判断下列关系是否为函数：

$y = \pm \sqrt{x}$
$y = x^2$
$x^2 + y^2 = 1$

参考答案 (1 个标签)

函数定义

分析：

$y = \pm \sqrt{x}$ 不是函数，因为对于 $x > 0$ ，y 有两个值（正负根号），违反了函数的单值性。
$y = x^2$ 是函数，因为对于每个实数 x，都有唯一的 y 值与之对应。
$x^2 + y^2 = 1$ 不是函数，因为对于 $-1 < x < 1$ ，y 有两个值（正负根号），违反了函数的单值性。

答案：只有 $y = x^2$ 是函数。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$x$	数学符号	x	自变量，函数的输入值
$y$	数学符号	y	因变量，函数的输出值
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$D$	数学符号	D	函数的定义域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
函数	function	/ˈfʌŋkʃən/	描述变量之间依赖关系的数学模型，记作 $y = f(x)$
自变量	independent variable	/ɪndɪˈpendənt ˈveəriəbl/	函数中的输入变量，通常用 $x$ 表示
因变量	dependent variable	/dɪˈpendənt ˈveəriəbl/	函数中的输出变量，通常用 $y$ 表示
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围

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