正切函数

解题思路：

正切函数 $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，分母为零时无定义；在每个连续区间上正切从 $-\infty$ 变到 $+\infty$，所以值域是 $\mathbb{R}$。

详细步骤：

1. 由 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，当 $\cos x = 0$ 即 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）时分母为零，函数无定义。
2. 所以定义域是 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$。
3. 在每个连续区间 $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ 上，正切函数从 $-\infty$ 单调递增到 $+\infty$，故值域是 $\mathbb{R}$。

最终答案：

定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$；值域：$\mathbb{R}$。

解题思路：

周期用诱导公式 $\tan(x + \pi) = \tan x$ 判断；奇偶性用 $\tan(-x)$ 与 $\tan(x)$ 的关系判断。

详细步骤：

1. 由诱导公式 $\tan(x + \pi) = \tan x$，且 $\pi$ 是使该等式成立的最小正数，所以 $y = \tan x$ 的周期是 $\pi$。
2. 计算 $f(-x) = \tan(-x) = -\tan x = -f(x)$。
3. 满足 $f(-x) = -f(x)$，所以 $y = \tan x$ 是奇函数，图像关于原点对称。

最终答案：

周期为 $\pi$，是奇函数。

解题思路：

三角函数以角为自变量、函数值是相应的三角比值；逐个检查自变量与函数值的构成方式即可区分。

详细步骤：

1. $y = \sin x$ 与 $y = \tan x$ 都以角 $x$ 为自变量、以相应的正弦比值和正切比值为函数值，都是三角函数。
2. $y = x^2$ 的自变量是普通实数而非角，函数值也不对应任何三角比值，不是三角函数。
3. $y = e^x$ 是指数函数，底数 $e$ 为常数、自变量处在指数位置，同样不是三角函数。

最终答案：

$y = \sin x$、$y = \tan x$ 是三角函数，$y = x^2$、$y = e^x$ 不是。

解题思路：

从 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 出发确定无定义点，再由每个单调区间上的取值范围确定值域。

详细步骤：

1. 分母 $\cos x = 0$ 的点为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数），这些点上正切函数无定义。
2. 所以定义域是 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，即从 $\mathbb{R}$ 中去掉这些间断点。
3. 在每个区间 $(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$ 上正切从 $-\infty$ 递增到 $+\infty$，故值域是 $\mathbb{R}$。

最终答案：

定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$；值域：$\mathbb{R}$。

解题思路：

逐个用 $f(-x) = \pm f(x)$ 检验奇偶性：正弦、正切对奇变号，余弦、二次幂对奇不变号。

详细步骤：

1. (A) $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$，所以 $y = \sin x$ 是奇函数。
2. (B) $f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$，所以 $y = \cos x$ 是偶函数。
3. (C) $f(-x) = \tan(-x) = -\tan x = -f(x)$，所以 $y = \tan x$ 是奇函数。
4. (D) $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$，所以 $y = x^2$ 是偶函数。

最终答案：

(A)、(C) 是奇函数，(B)、(D) 不是。

解题思路：

周期用诱导公式判断，定义域用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 的分母为零条件判断。

详细步骤：

1. 由诱导公式 $\tan(x + \pi) = \tan x$，且 $\pi$ 是使该等式成立的最小正数，所以 $y = \tan x$ 的周期是 $\pi$。
2. 由 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，当 $\cos x = 0$ 即 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）时函数无定义。
3. 所以定义域是 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，图像由若干条互相平移、每条都单调递增的支组成。

最终答案：

周期为 $\pi$，定义域为 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$。