函数的凹凸性

凹凸性的基本概念

函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的重要性质，它反映了函数在不同区间的变化特征。

凹函数与凸函数

凹函数（Concave Function）

凹函数的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $\lambda \in [0,1]$ ，都有：

f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数。

几何解释

函数图像向下弯曲，任意两点间的连线都在函数图像下方。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lambda$	希腊字母	Lambda（兰姆达）	参数，用于凸组合

凸函数（Convex Function）

凸函数的定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $\lambda \in [0,1]$ ，都有：

f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)

则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数。

几何解释

函数图像向上弯曲，任意两点间的连线都在函数图像上方。

凹凸性的判定方法

二阶导数法

定理 1

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则：

如果 $f''(x) > 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数
如果 $f''(x) < 0$ 在 $I$ 上成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数

一阶导数法

定理 2

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则：

如果 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递增，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数
如果 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递减，则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数

常见函数的凹凸性

二次函数

对于 $f(x) = ax^2 + bx + c$ （ $a \neq 0$ ）：

当 $a > 0$ 时， $f''(x) = 2a > 0$ ，函数为凸函数
当 $a < 0$ 时， $f''(x) = 2a < 0$ ，函数为凹函数

指数函数

对于 $f(x) = e^x$ ：

$f'(x) = e^x > 0$ ，单调递增
$f''(x) = e^x > 0$ ，凸函数

对数函数

对于 $f(x) = \ln x$ （ $x > 0$ ）：

$f'(x) = \frac{1}{x} > 0$ ，单调递增
$f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ ，凹函数

幂函数

对于 $f(x) = x^n$ ：

当 $n > 1$ $n > 1$ 时， $f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$ $f^{''} (x) = n (n - 1) x^{n - 2}$
- 当 $x > 0$ 时， $f''(x) > 0$ ，凸函数
- 当 $x < 0$ 且 $n$ 为偶数时， $f''(x) > 0$ ，凸函数
- 当 $x < 0$ 且 $n$ 为奇数时， $f''(x) < 0$ ，凹函数

应用例子

例子 1：判断函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的凹凸性。

解：

$f'(x) = 3x^2 - 6x$
$f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$
当 $x < 1$ 时， $f''(x) < 0$ ，函数为凹函数
当 $x > 1$ 时， $f''(x) > 0$ ，函数为凸函数

例子 2：判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ （ $x \neq 0$ ）的凹凸性。

解：

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$
当 $x < 0$ 时， $f''(x) < 0$ ，函数为凹函数
当 $x > 0$ 时， $f''(x) > 0$ ，函数为凸函数

练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的凹凸性。

参考答案 (3 个标签)

凹凸性二阶导数多项式函数

解题思路：求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2$
对于所有 $x \neq 1$ ， $f''(x) > 0$ ，函数为凸函数
在 $x = 1$ 处， $f''(1) = 0$ ，需要进一步分析

答案：函数在 $(-\infty, 1)$ 和 $(1, +\infty)$ 上都是凸函数。

练习 2

判断函数 $f(x) = \sin x$ 的凹凸性。

参考答案 (3 个标签)

凹凸性三角函数二阶导数

解题思路：求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

$f'(x) = \cos x$
$f''(x) = -\sin x$
当 $\sin x > 0$ 时（即 $x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$ ）， $f''(x) < 0$ ，函数为凹函数
当 $\sin x < 0$ 时（即 $x \in ((2k-1)\pi, 2k\pi)$ ）， $f''(x) > 0$ ，函数为凸函数

答案：函数在 $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ 上为凹函数，在 $((2k-1)\pi, 2k\pi)$ 上为凸函数，其中 $k$ 为整数。

练习 3

判断函数 $f(x) = e^{-x^2}$ 的凹凸性。

参考答案 (3 个标签)

凹凸性指数函数二阶导数

解题思路：求二阶导数，分析符号。

详细步骤：

$f'(x) = -2x e^{-x^2}$
$f''(x) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1)$
当 $2x^2 - 1 > 0$ 时（即 $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ）， $f''(x) > 0$ ，函数为凸函数
当 $2x^2 - 1 < 0$ 时（即 $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ ）， $f''(x) < 0$ ，函数为凹函数

答案：函数在 $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty)$ 上为凸函数，在 $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 上为凹函数。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$x_1, x_2$	数学符号	x one, x two	表示区间内的两个点
$\lambda$	希腊字母	Lambda（兰姆达）	表示参数，取值范围为 $[0, 1]$
$f'(x)$	数学符号	f prime of x	函数的一阶导数
$f''(x)$	数学符号	f double prime of x	函数的二阶导数
$I$	数学符号	I	表示区间

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
凹凸性	concavity/convexity	/ˌkɒnkəˈvɪti/ /ˌkɒnvekˈsɪti/	函数图像的弯曲方向
凹函数	concave function	/kɒnˈkeɪv ˈfʌŋkʃən/	函数图像向下弯曲的函数
凸函数	convex function	/ˈkɒnveks ˈfʌŋkʃən/	函数图像向上弯曲的函数
二阶导数	second derivative	/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	函数的一阶导数的导数
一阶导数	first derivative	/fɜːst dɪˈrɪvətɪv/	函数对自变量的导数
单调递增	monotonically increasing	/ˌmɒnəʊˈtɒnɪkli ɪnˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而增大
单调递减	monotonically decreasing	/ˌmɒnəʊˈtɒnɪkli dɪˈkriːsɪŋ/	函数值随自变量增大而减小

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