反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割六个基本函数。它们的难点不在定义，而在于「主值区间」：正弦、余弦在整条实轴上都不是一一对应的，因此每个反函数都必须先约定一个取值区间，把多解压成一个确定的角；只有约定清楚，$\arcsin x$ 才有唯一答案。

这套记号是逐步定型的。17 世纪微积分发展起来后，数学家开始处理三角函数的反函数问题，即求解 $\sin y = x$ 中的 $y$。18 世纪丹尼尔·伯努利与莱昂哈德·欧拉使用 “A. sin” 或 “arc. sin” 这样的写法，其中 “arc” 取「弧长」之意——反正弦函数的值可以看作单位圆上对应正弦值的弧长。19 世纪初约翰·赫歇尔引入 $\sin^{-1} x$ 的写法，但这种记法容易与 $\frac{1}{\sin x}$ 混淆，因此 “arcsin”、“arccos”、“arctan” 等记号最终成为国际标准并被广泛接受。

本章依次讲清六个反函数各自的定义域、值域、单调性与图像，并演示如何借助主值区间求出特殊角的值，例如 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$。