反余割函数

解题思路：要找 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$，使 $\csc \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，即 $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

详细步骤：

1. 特殊角中 $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\csc \frac{\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$；
2. $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$，落在 $(0, \frac{\pi}{2}]$ 内；
3. 由主值区间唯一性，$\operatorname{arccsc} \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$。

最终答案：$\operatorname{arccsc} \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$。

解题思路：

反余割函数是余割函数在主值区间 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ 上的反函数：定义域由 $\csc x$ 的值域决定，值域由主值区间决定。

详细步骤：

1. 余割函数 $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$ 的值域是 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$，反函数的定义域正是原函数的值域，所以 $y = \operatorname{arccsc} x$ 的定义域是 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。
2. 在 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ 上，余割函数在两个连通分支上分别单调且值域不重叠，取该区间作为主值区间即可保证反函数唯一。
3. 反函数把主值区间内的角度映回原函数的定义域，所以 $y = \operatorname{arccsc} x$ 的值域是 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$。

最终答案：

定义域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$；值域：$[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$。