反余弦函数

解题思路：要找 $\theta \in [0, \pi]$，使 $\cos \theta = -\frac{1}{2}$。

详细步骤：

1. 特殊角中 $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$；
2. $\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$，落在 $[0, \pi]$ 内；
3. 由主值区间唯一性，$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$。

最终答案：$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$。

解题思路：

反余弦函数是余弦函数在主值区间 $[0, \pi]$ 上的反函数：定义域由 $\cos x$ 的值域决定，值域由所选的主值区间决定。

详细步骤：

1. 余弦函数 $y = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的值域是 $[-1, 1]$，反函数的定义域正是原函数的值域，所以 $y = \arccos x$ 的定义域是 $[-1, 1]$。
2. 余弦函数在 $[0, \pi]$ 上单调递减，值由 $1$ 变到 $-1$，为了使反函数存在且唯一，取该区间为主值区间。
3. 反函数把主值区间内的角度映回原函数的定义域，因此 $y = \arccos x$ 的值域是 $[0, \pi]$。

最终答案：

定义域：$[-1, 1]$；值域：$[0, \pi]$。