函数的定义域

定义域的基本概念

函数的定义域

定义域（Domain） 是指使函数有意义的所有自变量值的集合，通常用 $D(f)$ 或 $D$ 表示。

对于函数 $y = f(x)$ ，定义域就是所有能使函数表达式有意义的 $x$ 值的集合。

求函数定义域的方法

1. 分式函数的定义域

对于分式函数，分母不能为零。

例1：求函数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要分母 $x - 2 \neq 0$ ，即 $x \neq 2$ 。

因此，定义域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ 。

2. 根式函数的定义域

对于偶次根式，被开方数必须非负。

例2：求函数 $f(x) = \sqrt{x-1}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $x - 1 \geq 0$ ，即 $x \geq 1$ 。

因此，定义域为 $[1, +\infty)$ 。

例3：求函数 $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $4 - x^2 \geq 0$ ，即 $x^2 \leq 4$ 。

解不等式： $-2 \leq x \leq 2$ 。

因此，定义域为 $[-2, 2]$ 。

3. 对数函数的定义域

对于对数函数，真数必须大于零。

例4：求函数 $f(x) = \log_2(x+3)$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 $x + 3 > 0$ ，即 $x > -3$ 。

因此，定义域为 $(-3, +\infty)$ 。

4. 复合条件的定义域

当函数包含多个限制条件时，需要同时满足所有条件。

例5：求函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要同时满足：

$x - 1 \geq 0$ （根式的条件）
$x - 3 \neq 0$ （分式的条件）

即：

$x \geq 1$
$x \neq 3$

因此，定义域为 $[1, 3) \cup (3, +\infty)$ 。

定义域的表示方法

定义域可以用以下几种方式表示：

区间表示法： $[a, b]$ 、 $(a, b)$ 、 $[a, +\infty)$ 等
集合表示法： $\{x | x \geq 1, x \neq 3\}$
不等式表示法： $x \geq 1$ 且 $x \neq 3$

常见函数的定义域

函数类型	一般形式	定义域条件
多项式函数	$f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$	$\mathbb{R}$ （全体实数）
分式函数	$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$	$Q(x) \neq 0$
偶次根式函数	$f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$	$g(x) \geq 0$
奇次根式函数	$f(x) = \sqrt[2n+1]{g(x)}$	$\mathbb{R}$
对数函数	$f(x) = \log_a g(x)$	$g(x) > 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$

练习题

练习 1

求函数 $f(x) = \frac{1}{x-2} + \sqrt{x+1}$ 的定义域。

参考答案 (2 个标签)

函数定义域复合函数

解题思路：需要分别考虑两个部分：

分式 $\frac{1}{x-2}$ ：分母不能为零
根式 $\sqrt{x+1}$ ：被开方数必须大于等于零

详细步骤：

对于 $\frac{1}{x-2}$ ，要求 $x-2 \neq 0$ ，即 $x \neq 2$
对于 $\sqrt{x+1}$ ，要求 $x+1 \geq 0$ ，即 $x \geq -1$
将两个条件联立： $x \geq -1$ 且 $x \neq 2$

答案：定义域为 $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$

练习 2

求下列函数的定义域：

$f(x) = \log_2(3x - 6)$
$g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$
$h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}$

参考答案 (3 个标签)

函数定义域对数函数奇次根式

解题思路：分别根据对数函数、奇次根式函数、复合函数的定义域要求进行求解。

详细步骤：

对于 $f(x) = \log_2(3x - 6)$ ：
- 对数函数要求真数大于 0
- $3x - 6 > 0$
- $3x > 6$
- $x > 2$
- 定义域： $(2, +\infty)$
对于 $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ ：
- 奇次根式函数对被开方数没有限制
- 定义域： $\mathbb{R}$
对于 $h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}$ ：
- 根式要求： $x + 2 \geq 0$ ，即 $x \geq -2$
- 分母要求： $x^2 - 9 \neq 0$ ，即 $x \neq \pm 3$
- 联立条件： $x \geq -2$ 且 $x \neq 3$ （ $x = -3$ 已被 $x \geq -2$ 排除）
- 定义域： $[-2, 3) \cup (3, +\infty)$

答案：

$(2, +\infty)$
$\mathbb{R}$
$[-2, 3) \cup (3, +\infty)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$D(f)$	数学符号	D of f	函数 $f$ 的定义域
$D$	数学符号	D	函数的定义域
$y = f(x)$	数学公式	y equals f of x	函数的一般表示形式
$\sqrt{x}$	数学符号	square root of x	$x$ 的平方根
$\sqrt[n]{x}$	数学符号	n-th root of x	$x$ 的 $n$ 次方根
$\log_a x$	数学符号	logarithm base a of x	以 $a$ 为底 $x$ 的对数
$\mathbb{R}$	数学符号	double-struck R（Real numbers）	表示实数集
$[a, b]$	数学符号	closed interval	包含端点的区间记号
$(a, b)$	数学符号	open interval	不包含端点的区间记号
$[a, b)$	数学符号	half-open interval	左闭右开区间记号
$(a, b]$	数学符号	half-open interval	左开右闭区间记号
$(-\infty, +\infty)$	数学符号	infinite interval	表示所有实数的区间记号
$\cup$	数学符号	union symbol	表示两个集合的并集

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
分式函数	rational function	/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/	分子分母都是多项式的函数
根式函数	radical function	/ˈrædɪkəl ˈfʌŋkʃən/	含有根号的函数
对数函数	logarithmic function	/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/	以对数为基础的函数
区间表示法	interval notation	/ˈɪntəvəl nəʊˈteɪʃən/	用区间符号表示数集的方法
集合表示法	set notation	/set nəʊˈteɪʃən/	用集合符号表示数集的方法

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