黄金比例

解题思路：

先把黄金分割的定义写成比例关系，再由该比例导出黄金比例满足的二次方程，取正根即得精确表达式。

详细步骤：

1. 黄金分割的定义是：把线段分为长为 $a$（较长段）与 $b$（较短段）的两段，使 $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$，这个公共比值就是黄金比例 $\varphi$。
2. 令 $x = \frac{a}{b}$，代入定义式得 $\frac{x+1}{x} = x$，整理得 $x^2 = x + 1$。
3. 对方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 使用求根公式得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，因比例为正数取正根。
4. 于是 $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\ldots$。

最终答案：

定义：$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$；精确表达式：$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

解题思路：

把黄金分割的定义式用比例变量代换，整理成关于该比例的一元二次方程。

详细步骤：

1. 设比例 $x = \frac{a}{b}$，则 $a = xb$，$a + b = (x+1)b$。
2. 代入定义式 $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$，得 $\frac{(x+1)b}{xb} = x$，即 $\frac{x+1}{x} = x$。
3. 两边乘以 $x$ 并整理得 $x + 1 = x^2$，即 $x^2 = x + 1$。
4. 这说明黄金比例 $\varphi$ 是方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的正根。

最终答案：

$x^2 = x + 1$。

解题思路：

斐波那契数列的递推结构与黄金比例满足的方程 $x^2 = x + 1$ 是同一个递推关系，因此相邻项之比趋向黄金比例，通项也能用该方程的两个根写成通项形式。

详细步骤：

1. 斐波那契数列满足 $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$，而黄金比例满足 $\varphi^2 = \varphi + 1$，两者是同一递推式 $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$。
2. 由该递推式可知相邻两项之比 $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ 收敛，且其极限必须满足 $x = 1 + \frac{1}{x}$，即 $x^2 = x + 1$。
3. 比率应为正数，故极限取正根 $\varphi$。
4. 通项公式 $F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$ 正是用特征方程 $x^2 = x + 1$ 的两个根 $\varphi$ 与 $1 - \varphi$ 写成的。

最终答案：

$\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi$，且通项公式 $F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$。

解题思路：

逐个判断三个候选数能否表示为两个整数之比：$\sqrt{2}$ 的根号内不是完全平方数，$\pi$ 与 $\varphi$ 本身都是无理数。

详细步骤：

1. (A) $\sqrt{2}$：$2$ 不是完全平方数，$\sqrt{2}$ 无法写成两个整数之比，故是无理数。
2. (B) $\pi$：圆周率是无理数，故 $\pi$ 不是有理数。
3. (C) $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$：由 $\sqrt{5}$ 是无理数可知 $\varphi$ 也是无理数。
4. 三个选项都是无理数，所以应选”以上都是”这一项。

最终答案：

(D) 以上都是。

解题思路：

黄金比例是方程 $x^2 = x + 1$ 的正根，用求根公式解出并取正根即可。

详细步骤：

1. 黄金比例满足 $x^2 = x + 1$，移项得 $x^2 - x - 1 = 0$。
2. 由求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，代入 $a = 1$、$b = -1$、$c = -1$，得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
3. 黄金分割比例取正数，故舍去负根 $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$。

最终答案：

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。