余割函数

定义

在直角三角形中，设一个锐角为 $\theta$ ，则余割定义为：

\csc \theta = \frac{{斜边}}{{对边}}

其中，“斜边”是三角形的最长边，“对边”是指与角 $\theta$ 相对的那条直角边。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\theta$	希腊字母	Theta（西塔）	表示角的大小（锐角）

求 $y = \csc x$ 的定义域和值域。

答案与解析

余割函数定义域值域

解题思路：

余割函数 $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$ ，分母为零时无定义；由正弦函数的值域 $[-1, 1]$ 取倒数即可得到值域。

详细步骤：

由 $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ ，当 $\sin x = 0$ 即 $x = k\pi$ （ $k$ 为整数）时分母为零，函数无定义。
所以定义域是 $x \neq k\pi$ 。
正弦函数的值域是 $[-1, 1]$ ，取倒数后得到 $\frac{1}{\sin x} \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ ，所以值域是 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ 。

最终答案：

定义域： $x \neq k\pi$ ；值域： $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ 。

判断 $y = \csc x$ 的周期性和奇偶性。

答案与解析

余割函数周期奇偶性

解题思路：

周期用诱导公式 $\csc(x + 2\pi) = \csc x$ 判断；奇偶性用 $\csc(-x)$ 与 $\csc(x)$ 的关系判断。

详细步骤：

由诱导公式 $\csc(x + 2\pi) = \csc x$ ，且 $2\pi$ 是使该等式成立的最小正数，所以 $y = \csc x$ 的周期是 $2\pi$ 。
计算 $f(-x) = \csc(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = -\frac{1}{\sin x} = -f(x)$ 。
满足 $f(-x) = -f(x)$ ，所以 $y = \csc x$ 是奇函数，图像关于原点对称。

最终答案：

周期为 $2\pi$ ，是奇函数。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示余割函数的周期（ $2\pi$ ）