反正弦函数

定义

反正弦函数的定义

反正弦函数 $y = \arcsin x$ 是正弦函数 $y = \sin x$ 的反函数。

性质

定义域： $[-1, 1]$
值域： $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
单调性：单调递增
奇偶性：奇函数

为什么值域取 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

正弦函数

y = \sin x

在整个

\mathbb{R}

上不是单射（每个

y

对应无穷多个

x

），所以它的”反函数”必须限定一个范围，使

\sin x

在该范围内单调（从而单射）。教材统一选定 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 作为主值区间。

在这个区间上， $\sin x$ 从 $-1$ 单调递增到 $1$ ，一个 $y$ 恰好对应一个 $x$ ；
因此反函数 $\arcsin x$ 的值域就是 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ；
如果换一个区间（例如 $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ ），也能得到”反函数”，但数值会不同；约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反正弦函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ，使 $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；
$\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ ，落在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内；
由主值区间唯一性， $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ 。

答案： $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \arcsin x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反正弦函数定义域值域

定义域： $[-1, 1]$ ；值域： $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反正弦函数的值域（ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反正弦函数	arcsine function	/ɑːkˈsaɪn ˈfʌŋkʃən/	正弦函数的反函数，记作 $y = \arcsin x$
反正弦	arcsine	/ɑːkˈsaɪn/	函数名称，简写为 $\arcsin$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数

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反三角函数

详细讲解反三角函数的定义、性质、图像及典型习题。

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