反正弦函数

解题思路：要找 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，使 $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

详细步骤：

1. 特殊角中 $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
2. $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$，落在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内；
3. 由主值区间唯一性，$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$。

最终答案：$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$。

解题思路：

反正弦函数是正弦函数在主值区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上的反函数：定义域由 $\sin x$ 的值域决定，值域由主值区间决定。

详细步骤：

1. 正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的值域是 $[-1, 1]$，反函数的定义域正是原函数的值域，所以 $y = \arcsin x$ 的定义域是 $[-1, 1]$。
2. 正弦函数在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递增，值由 $-1$ 变到 $1$，取该区间为主值区间即可保证反函数唯一。
3. 反函数把主值区间内的角度映回原函数的定义域，所以 $y = \arcsin x$ 的值域是 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

最终答案：

定义域：$[-1, 1]$；值域：$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。