正弦函数

解题思路：

正弦函数 $y = \sin x$ 由单位圆上的点 $(\cos x, \sin x)$ 定义，对任意实数 $x$ 都有意义；而该点的纵坐标取值范围恰好是 $[-1, 1]$。

详细步骤：

1. 由单位圆上点的定义，$\sin x$ 对任何实数 $x$ 都有意义，所以定义域是 $\mathbb{R}$。
2. 单位圆上点的纵坐标满足 $-1 \leq \sin x \leq 1$，所以值域是 $[-1, 1]$。
3. 当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时 $\sin x = 1$，当 $x = -\frac{\pi}{2}$ 时 $\sin x = -1$，两个端点都能取到。

最终答案：

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$[-1, 1]$。

解题思路：

先确定两条曲线的形状与关键点，再比较周期与对称性：正弦图像过原点、余弦图像过点 $(0, 1)$，两者只相差一个 $\frac{\pi}{2}$ 的水平平移。

详细步骤：

1. $y = \sin x$ 的图像过原点，在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上单调递增；$y = \cos x$ 的图像过点 $(0, 1)$，在 $[0, \pi]$ 上单调递减。
2. 由 $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$，两条图像只相差一个 $\frac{\pi}{2}$ 的水平平移。
3. 两者平移 $2\pi$ 后都回到原位，所以周期均为 $2\pi$。
4. 由 $\sin(-x) = -\sin x$ 知 $\sin x$ 是奇函数、图像关于原点对称；由 $\cos(-x) = \cos x$ 知 $\cos x$ 是偶函数、图像关于 $y$ 轴对称。

最终答案：

$y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 周期均为 $2\pi$，$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数。

解题思路：

先由诱导公式得到 $2\pi$ 是一个周期，再借助零点的分布排除更小的正周期。

详细步骤：

1. 由诱导公式 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$，说明 $2\pi$ 是 $y = \sin x$ 的一个周期。
2. 再看零点的分布：$\sin x = 0$ 当且仅当 $x = k\pi$，所以任何正周期都必须是 $\pi$ 的整数倍。
3. 而 $\sin(x + \pi) = -\sin x \neq \sin x$，故 $\pi$ 不是周期，最小的正整数倍只能是 $2\pi$。

最终答案：

最小正周期为 $2\pi$。

解题思路：

逐个用 $f(-x) = \pm f(x)$ 检验奇偶性：正弦、正切对奇变号，余弦、二次幂对奇不变号。

详细步骤：

1. (A) $f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x)$，所以 $y = \sin x$ 是奇函数。
2. (B) $f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x)$，所以 $y = \cos x$ 是偶函数。
3. (C) $f(-x) = \tan(-x) = -\tan x = -f(x)$，所以 $y = \tan x$ 是奇函数。
4. (D) $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$，所以 $y = x^2$ 是偶函数。

最终答案：

(A)、(C) 是奇函数，(B)、(D) 不是。