复合函数

定义

复合函数的定义

若 $y = f(u)$ ，而 $u = g(x)$ ，则 $y = f[g(x)]$ 称为由 $f$ 和 $g$ 构成的复合函数，记作 $f \circ g$ 。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(u)$	数学符号	f of u	外层函数，以 $u$ 为自变量
$g(x)$	数学符号	g of x	内层函数，以 $x$ 为自变量
$f[g(x)]$	数学符号	f of g of x	复合函数， $f$ 和 $g$ 的复合
$f \circ g$	数学符号	f 圆圈 g	复合函数记号，读作”f 复合 g”

性质

复合函数具有以下重要性质：

定义域：复合函数的定义域是使得 $g(x)$ 有定义且 $f(g(x))$ 有意义的 x 的集合
交换律：复合运算不满足交换律： $f \circ g \neq g \circ f$
结合律：复合运算满足结合律： $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$

例子

常见的复合函数例子：

$f(x) = \sin(x^2)$ 是 $f(u) = \sin u$ 和 $g(x) = x^2$ 的复合
$f(x) = e^{\sqrt{x}}$ 是 $f(u) = e^u$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$ 的复合
$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 是 $f(u) = \ln u$ 和 $g(x) = x^2 + 1$ 的复合

求复合函数定义域的方法

第一步：求内层函数 $g(x)$ 的定义域
第二步：求外层函数 $f(u)$ 的定义域
第三步：求使得 $g(x)$ 的值属于 $f(u)$ 定义域的 x 的范围

复合函数的求导

复合函数的导数可以通过链式法则求得：

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

练习题

练习 1

求复合函数 $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$ 的定义域。

参考答案 (4 个标签)

复合函数定义域对数函数根式函数

解题思路：需要分别考虑内层函数 $\sqrt{x^2 + 1}$ 和外层函数 $\ln u$ 的定义域。

详细步骤：

内层函数 $\sqrt{x^2 + 1}$ 的定义域： $x^2 + 1 \geq 0$ ，这对所有实数 x 都成立
外层函数 $\ln u$ 的定义域： $u > 0$ ，即 $\sqrt{x^2 + 1} > 0$
由于 $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ ，所以 $\sqrt{x^2 + 1} > 0$ 对所有实数 x 都成立

答案：定义域为 $\mathbb{R}$ （全体实数）。

$\mathbb{R}$ （双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格，用于区分集合符号和普通变量。

练习 2

求复合函数 $f(x) = \sin(\ln x)$ 的定义域。

参考答案 (4 个标签)

复合函数定义域三角函数对数函数

解题思路：需要分别考虑内层函数 $\ln x$ 和外层函数 $\sin u$ 的定义域。

详细步骤：

内层函数 $\ln x$ 的定义域： $x > 0$
外层函数 $\sin u$ 的定义域： $u \in \mathbb{R}$ ，对所有实数都有定义
因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域

答案：定义域为 $(0, +\infty)$ 。

练习 3

求复合函数 $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$ 的定义域。

参考答案 (4 个标签)

复合函数定义域根式函数分式函数

解题思路：需要分别考虑内层函数 $\frac{1}{x-1}$ 和外层函数 $\sqrt{u}$ 的定义域。

详细步骤：

内层函数 $\frac{1}{x-1}$ 的定义域： $x \neq 1$
外层函数 $\sqrt{u}$ 的定义域： $u \geq 0$ ，即 $\frac{1}{x-1} \geq 0$
解不等式 $\frac{1}{x-1} \geq 0$ $\frac{1}{x - 1} \geq 0$ ：
- 当 $x-1 > 0$ 时， $\frac{1}{x-1} > 0 \geq 0$ ，成立
- 当 $x-1 < 0$ 时， $\frac{1}{x-1} < 0$ ，不成立
所以 $x-1 > 0$ ，即 $x > 1$

答案：定义域为 $(1, +\infty)$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数记号，表示以 $x$ 为自变量的函数
$f(u)$	数学符号	f of u	外层函数，以 $u$ 为自变量
$g(x)$	数学符号	g of x	内层函数，以 $x$ 为自变量
$f[g(x)]$	数学符号	f of g of x	复合函数， $f$ 和 $g$ 的复合
$f \circ g$	数学符号	f composed with g	复合函数记号
$f'(x)$	数学符号	f prime of x	函数的一阶导数
$f'(g(x))$	数学符号	f prime of g of x	外层函数在内层函数值处的导数
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集，所有实数的集合
$(a, +\infty)$	数学符号	开区间	左开右无穷区间

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由两个或多个函数嵌套组合而成的函数
外层函数	outer function	/ˈaʊtə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中位于外层的函数
内层函数	inner function	/ˈɪnə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中位于内层的函数
交换律	commutative law	/kəˈmjuːtətɪv lɔː/	运算满足交换的性质
结合律	associative law	/əˈsəʊʃɪətɪv lɔː/	运算满足结合的性质
链式法则	chain rule	/tʃeɪn ruːl/	复合函数求导的法则
嵌套	nesting	/ˈnestɪŋ/	函数的多层组合

下一章节反函数学习反函数的定义、性质和求法，掌握反函数与原函数的关系。

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