对数函数

解题思路：

对数函数 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的真数必须为正，所以定义域是 $(0, +\infty)$；又因为 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上取遍正数，其反函数的值域是 $\mathbb{R}$。

详细步骤：

1. 对数式 $\log_a x$ 有意义的前提是真数 $x > 0$，所以定义域为 $(0, +\infty)$。
2. $y = \log_a x$ 是指数函数 $y = a^x$ 的反函数，而 $a^x$ 的值域是 $(0, +\infty)$，故其反函数的值域是 $\mathbb{R}$。
3. 当 $x \to 0^+$ 时 $y \to -\infty$，当 $x \to +\infty$ 时 $y \to +\infty$，图像在定义域上取遍全体实数。

最终答案：

定义域：$(0, +\infty)$；值域：$\mathbb{R}$。

解题思路：

对数函数的判定标准是：能写成 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的形式，即真数出现在对数号内、底数是常数。把四个函数逐个对照。

详细步骤：

1. $y = \log_3 x$ 是底数 $3 > 0$ 且 $\neq 1$ 的对数函数。
2. $y = x^3$ 是幂函数，既不是对数函数也不是指数函数。
3. $y = \ln x$ 是以自然常数 $e$ 为底的对数函数，即 $\ln x = \log_e x$。
4. $y = 2^x$ 是指数函数，真数 $x$ 不在对数号内，因此不是对数函数。

最终答案：

$y = \log_3 x$、$y = \ln x$ 是对数函数，$y = x^3$、$y = 2^x$ 不是。

解题思路：

对数函数的图像都过定点 $(1, 0)$，单调性只由底数与 $1$ 的大小关系决定；据此确定两条曲线的走向并作比较。

详细步骤：

1. 对数函数的图像都过定点 $(1, 0)$，并以 $y$ 轴为渐近线。
2. 对 $y = \log_2 x$，底数 $2 > 1$，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，图像自左下方沿 $y$ 轴上升。
3. 对 $y = \log_{1/2} x$，底数 $0 < 1/2 < 1$，函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，图像自左上方沿 $y$ 轴下降。
4. 由 $\log_{1/2} x = \frac{\ln x}{\ln (1/2)} = -\log_2 x$ 可知两条图像关于 $x$ 轴对称，单调方向恰好相反。

最终答案：

$y = \log_2 x$ 单调递增，$y = \log_{1 / 2} x$ 单调递减。

解题思路：

渐近线是图像无限接近但不与它相交的直线。对 $y = \log_a x$（$a > 1$），考察 $x$ 趋于 $0^+$ 时函数值的变化，即可判断图像在哪条直线附近无限接近。

详细步骤：

1. 由 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ 且 $a > 1$ 时 $\ln a > 0$，可知当 $x \to 0^+$ 时 $\ln x \to -\infty$，故 $y \to -\infty$。
2. 图像在 $y$ 轴左侧随 $x \to 0^+$ 无限下移并贴近 $y$ 轴。
3. 由于定义域是 $(0, +\infty)$，图像从不与 $y$ 轴相交，所以 $y$ 轴（$x = 0$）是水平渐近线。

最终答案：

$y$ 轴（$x=0$）为其渐近线。

解题思路：

判断是否为对数函数，只需检验能否写成 $y = \log_a x$ 且底数满足 $a > 0$、$a \neq 1$。

详细步骤：

1. $y = \log_{-2} x$ 的底数为 $-2$，不满足 $a > 0$ 的要求。
2. 负底数的实数次幂无法对一切正真数都有意义，例如 $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ 不是实数。
3. 由于对数函数要求底数为正数，所以 $\log_{-2} x$ 不能作为对数函数讨论。

最终答案：

不是。对数函数的底数 $a$ 必须大于 0 且不等于 1。

解题思路：

用换底公式把以 $4$ 为底的对数换成以自然常数 $e$ 为底，便于取近似值计算，再用定义直接验证结果。

详细步骤：

1. 换底公式给出 $\log_4 16 = \frac{\ln 16}{\ln 4}$。
2. 代入数值：$\ln 16 \approx 2.7726$，$\ln 4 \approx 1.3863$。
3. 相除得 $\frac{2.7726}{1.3863} = 2$。
4. 用定义直接验证：$4^2 = 16$，说明 $\log_4 16 = 2$，与换底计算结果一致。

最终答案：

使用换底公式：$\log_4 16 = \frac{\ln 16}{\ln 4} = \frac{2.7726}{1.3863} = 2$。

或者直接计算：$4^2 = 16$，所以 $\log_4 16 = 2$。

解题思路：

用换底公式把以 $3$ 为底的对数换成以自然常数 $e$ 为底，再用定义直接验证结果。

详细步骤：

1. 换底公式给出 $\log_3 27 = \frac{\ln 27}{\ln 3}$。
2. 代入数值：$\ln 27 \approx 3.2958$，$\ln 3 \approx 1.0986$。
3. 相除得 $\frac{3.2958}{1.0986} = 3$。
4. 用定义直接验证：$3^3 = 27$，说明 $\log_3 27 = 3$，与换底计算结果一致。

最终答案：

使用换底公式：$\log_3 27 = \frac{\ln 27}{\ln 3} = \frac{3.2958}{1.0986} = 3$。

或者直接计算：$3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。

解题思路：

把两边的对数都换成以 $e$ 为底的自然对数，再把两个分式相乘化简，观察中间的 $\ln b$ 能否约去。

详细步骤：

1. 由换底公式，$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$。
2. 同样地，$\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$。
3. 两式相乘：$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} = \frac{\ln c}{\ln a}$，其中非零因子 $\ln b$ 被约去。
4. 再由换底公式 $\frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c$，等式得证。

最终答案：

使用换底公式： $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$， $\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$

因此： $\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\ln b}{\ln a} \cdot \frac{\ln c}{\ln b} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c$

解题思路：

题给的两个函数值其实是对数函数恒等式的直接推论，并不构成对底数的额外限制；只需逐个验证，再检查底数的取值范围。

详细步骤：

1. 对任意满足 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 的底数，$\log_a 1 = 0$，所以 $y(1) = 0$ 恒成立。
2. 同理 $\log_a a = 1$，所以 $y(a) = 1$ 也恒成立。
3. 两个条件都没有提供新的约束，剩下的限制只有题设的 $a > 1$，它已经保证底数为正且不为 $1$。

最终答案：

由 $y(1) = \log_a 1 = 0$，恒成立； 由 $y(a) = \log_a a = 1$，也恒成立； 因此，只要 $a > 1$，$y = \log_a x$ 都满足题意，$a$ 的取值为 $a > 1$。

解题思路：

逐个检查选项能否写成 $y = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的形式，即真数是否出现在对数号内。

详细步骤：

1. (A) $y = \log_2 x$ 的底数为 $2 > 0$ 且 $\neq 1$，是对数函数。
2. (B) $y = x^2$ 是幂函数，真数没有出现在对数号内，不是对数函数。
3. (C) $y = \ln x = \log_e x$ 的底数为 $e > 0$ 且 $\neq 1$，是对数函数。
4. (D) $y = 2^x$ 是指数函数，不满足对数函数的形式。

最终答案：

(A)、(C) 是对数函数，(B)、(D) 不是。

解题思路：

对数函数的单调性只由底数与 $1$ 的大小关系决定：底数大于 $1$ 时递增，底数在 $0$ 与 $1$ 之间时递减。

详细步骤：

1. 对任意 $x_1 < x_2$，由于 $0 < a < 1$，指数函数 $a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，故 $a^{x_1} > a^{x_2}$。
2. 真数越大其对数值越小，所以 $y = \log_a x$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。
3. 相应地，图像过定点 $(1, 0)$，自左上方沿 $y$ 轴下降，与 $a > 1$ 时的图像关于 $x$ 轴对称。

最终答案：

$y$ 单调递减。

解题思路：

把 $\log_6 15$ 换成以 $2$ 为底，这样 $\log_2 3$ 与 $\log_2 5$ 正好就是题给的 $a$ 与 $b$，再用对数运算法则拆开积与商即可。

详细步骤：

1. 换底公式：$\log_6 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 6}$。
2. 把真数与底数分别因式分解：$15 = 3 \times 5$，$6 = 2 \times 3$。
3. 用积的对数法则与商的对数法则展开：$\frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 2 + \log_2 3}$。
4. 代入 $\log_2 3 = a$、$\log_2 5 = b$ 与 $\log_2 2 = 1$，得 $\frac{a + b}{1 + a}$。

最终答案：

使用换底公式： $\log_6 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 6} = \frac{\log_2 (3 \times 5)}{\log_2 (2 \times 3)} = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 2 + \log_2 3} = \frac{a + b}{1 + a}$