反正割函数

解题思路：要找 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$，使 $\sec \theta = 2$，即 $\cos \theta = \frac{1}{2}$。

详细步骤：

1. 特殊角中 $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，故 $\sec \frac{\pi}{3} = 2$；
2. $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$，落在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 内；
3. 由主值区间唯一性，$\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$。

最终答案：$\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$。

解题思路：

反正割函数是正割函数在主值区间 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ 上的反函数：定义域由 $\sec x$ 的值域决定，值域由主值区间决定。

详细步骤：

1. 正割函数 $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$ 的值域是 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$，反函数的定义域正是原函数的值域，所以 $y = \operatorname{arcsec} x$ 的定义域是 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。
2. 在 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ 上，正割函数在两个连通分支上分别单调且值域不重叠，取该区间作为主值区间即可保证反函数唯一。
3. 反函数把主值区间内的角度映回原函数的定义域，所以 $y = \operatorname{arcsec} x$ 的值域是 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$。

最终答案：

定义域：$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$；值域：$[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$。