幂三角函数

解题思路： 分析正弦平方函数的基本性质，利用三角函数的性质推导。

详细步骤：

1. 定义域：由于 $\sin x$ 的定义域是 $\mathbb{R}$，所以 $\sin^2 x$ 的定义域也是 $\mathbb{R}$

2. 值域：由于 $\sin x \in [-1, 1]$，所以 $\sin^2 x \in [0, 1]$

3. 周期：由于 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，而 $\cos 2x$ 的周期是 $\pi$，所以 $\sin^2 x$ 的周期是 $\pi$

答案：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 值域：$[0, 1]$
• 周期：$\pi$

解题思路： 利用奇偶函数的定义和余弦函数的性质进行分析。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = \cos^3 x$

2. 计算 $f(-x) = \cos^3(-x) = [\cos(-x)]^3 = (\cos x)^3 = \cos^3 x = f(x)$

3. 由于 $f(-x) = f(x)$，所以 $y = \cos^3 x$ 是偶函数

答案： $y = \cos^3 x$ 是偶函数，因为 $f(-x) = f(x)$

解题思路： 利用三角恒等式和配方法求解。

详细步骤：

1. 利用恒等式：$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

2. 由于 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，所以： $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

3. 利用倍角公式：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，所以： $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$

4. 因此：$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}$

5. 由于 $\sin^2 2x \in [0, 1]$，所以 $\frac{\sin^2 2x}{2} \in [0, \frac{1}{2}]$

6. 因此 $1 - \frac{\sin^2 2x}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$

答案： 最小值为 $\frac{1}{2}$

解题思路： 分情况讨论：当 $n$ 为偶数时利用倍角公式，当 $n$ 为奇数时利用周期函数定义。

详细步骤：

情况1：$n$ 为偶数

设 $n = 2k$（$k$ 为正整数），则 $f(x) = \sin^{2k} x = (\sin^2 x)^k$

由于 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，而 $\cos 2x$ 的周期为 $\pi$，所以 $\sin^2 x$ 的周期为 $\pi$

因此 $(\sin^2 x)^k$ 的周期也是 $\pi$

情况2：$n$ 为奇数

设 $f(x) = \sin^n x$（$n$ 为奇数）

由于 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$，所以： $f(x + 2\pi) = \sin^n(x + 2\pi) = [\sin(x + 2\pi)]^n = (\sin x)^n = \sin^n x = f(x)$

因此 $2\pi$ 是 $f(x)$ 的一个周期

假设存在更小的正周期 $T < 2\pi$，则 $\sin^n(x + T) = \sin^n x$ 对所有 $x$ 成立

由于 $n$ 为奇数，这意味着 $\sin(x + T) = \sin x$，所以 $T$ 必须是 $\sin x$ 的周期

而 $\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$，因此 $T \geq 2\pi$，矛盾

答案：

• 当 $n$ 为偶数时，函数 $y = \sin^n x$ 的最小正周期为 $\pi$
• 当 $n$ 为奇数时，函数 $y = \sin^n x$ 的最小正周期为 $2\pi$

解题思路： 利用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 求解。

详细步骤：

1. 由于 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 对所有 $x$ 成立

2. 所以 $f(x) = 1$ 对所有 $x$ 成立

3. 因此 $f(x)$ 的值域为 $\{1\}$，即 $[1, 1]$

答案： (D) $[1, 1]$

解题思路： 分析余弦函数的周期性和幂函数的性质。

详细步骤：

1. 由于 $\cos x$ 的周期为 $2\pi$

2. 对于幂函数 $\cos^3 x$，周期保持不变

3. 因此 $\cos^3 x$ 的周期为 $2\pi$

答案： (B) $2\pi$