三角函数

三角函数把角度与边长比值联系起来，是描述周期性变化最基本的工具。本章先做两件基础事：把角度单位从「度」换到「弧度」——因为后续所有恒等式与求导公式只有在弧度下才干净；再依次弄清正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六个函数的定义、值域、图像与周期性。

它们的来历也值得一看。正弦的雏形是公元前 1800 年古巴比伦人用弦长表解决天文与测量问题时所用的弦长；公元 5 世纪印度天文学家阿耶波多在《阿耶波多历书》中给出「半弦」表（jya），这才是正弦真正的原型；8 世纪起印度三角学传入阿拉伯，学者如阿尔·巴塔尼完善了正弦、余弦、正切函数表，而 “jya” 音译为 “jiba”、又被误读为 “jaib”（意为「湾」）；12 世纪这些文献译入拉丁文，“jaib” 变成 “sinus”，英语的 “sine” 由此而来。15 至 16 世纪的雷格蒙塔努斯与韦达把三角学系统化，cosine 来自拉丁文 “complementi sinus”（余角的正弦），tangent 来自 “tangens”（接触），secant 来自 “secans”（切割），cotangent 与 cosecant 同理。18 世纪欧拉把 sin、cos、tan、cot、sec、csc 定为六个标准记号，并把三角函数推广到复数领域。

本章最后处理降幂公式：它们能把 $\sin^n x$、$\cos^n x$ 这类表达式改写成一次项的组合，是化简与积分时的常用工具。