幂函数

解题思路：

幂函数 $y = x^a$ 的定义域取决于指数 $a$；当 $a$ 为正整数时定义域与值域都是 $\mathbb{R}$，奇偶性则由指数的奇偶性决定。

详细步骤：

1. $a = 3$ 是正整数，$x^3$ 对任意实数 $x$ 都有意义，所以定义域是 $\mathbb{R}$。
2. 三次幂函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增且无界，图像过原点，所以值域是 $\mathbb{R}$。
3. 计算 $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$，即 $f(-x) = -f(x)$，所以 $y = x^3$ 是奇函数。

最终答案：

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$\mathbb{R}$；$y = x^3$ 是奇函数。

解题思路：

幂函数的标准形式是 $y = x^a$（$a$ 为常数），系数必须为 $1$ 且底数必须是自变量 $x$ 本身。把四个函数逐个对照这一形式。

详细步骤：

1. $y = 2x^2$ 的系数是 $2$ 而不是 $1$，不能写成 $x^a$ 的形式，不是幂函数。
2. $y = 3^x$ 的底数是常数 $3$、自变量在指数位置，是指数函数而不是幂函数。
3. $y = x^{-1}$ 符合 $y = x^a$ 的形式（$a = -1$），是幂函数。
4. $y = \sqrt{x}$ 可写成 $y = x^{1 / 2}$，同样是幂函数。

最终答案：

幂函数有 $y = x^{-1}$、$y = \sqrt{x}$（即 $y = x^{1 / 2}$）。$y = 2x^2$ 和 $y = 3^x$ 不是幂函数。

解题思路：

二次幂函数与三次幂函数的图像形状不同：前者是开口向上的抛物线且关于 $y$ 轴对称，后者是关于原点对称的曲线；据此分别讨论两个半轴上的单调性。

详细步骤：

1. $y = x^2$ 的图像是开口向上的抛物线，过点 $(0, 0)$，关于 $y$ 轴对称，故为偶函数。
2. 在 $x > 0$ 时 $x$ 增大则 $x^2$ 增大，所以 $y = x^2$ 单调递增；在 $x < 0$ 时 $x$ 增大而 $|x|$ 减小，所以 $y = x^2$ 单调递减。
3. $y = x^3$ 的图像是关于原点对称的曲线，过点 $(0, 0)$，在整个实数范围内单调递增，故为奇函数。
4. 两个函数都过原点，但 $x^2$ 在负半轴上递减而 $x^3$ 仍递增，这正是二者奇偶性不同的直接体现。

最终答案：

$y = x^2$ 在 $x>0$ 时递增，在 $x<0$ 时递减，为偶函数；$y = x^3$ 在全体实数上递增，为奇函数。

解题思路：

负指数幂表示倒数：$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$，据此可以同时确定定义域与值域。

详细步骤：

1. 由 $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$，分母不能为零，所以 $x \neq 0$，定义域是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$。
2. 任何非零实数的平方都大于 $0$，所以 $\frac{1}{x^2} > 0$，函数值恒为正。
3. 当 $x \to 0$ 时 $\frac{1}{x^2} \to +\infty$，当 $x \to \pm\infty$ 时 $\frac{1}{x^2} \to 0^+$ 但始终不取到 $0$，所以值域是 $(0, +\infty)$。

最终答案：

定义域：$x \neq 0$；值域：$(0, +\infty)$。

解题思路：

判断是否为幂函数，只需看能否写成 $y = x^a$ 且 $a$ 为常数；绝对值函数的分段结构与此形式不同。

详细步骤：

1. 绝对值函数在 $x \geq 0$ 时等于 $x$，在 $x < 0$ 时等于 $-x$，是分段定义的。
2. 若存在常数 $a$ 使 $x^a = |x|$ 对一切 $x$ 成立，则在 $x > 0$ 上得 $a = 1$，但此时 $x^a = x$ 在 $x < 0$ 上取负值，与 $|x| > 0$ 矛盾。
3. 所以 $|x|$ 不能写成 $x^a$ 的形式，其中 $a$ 为常数。

最终答案：

不是幂函数。$|x|$ 不能表示为 $x^a$ 的形式，其中 $a$ 为常数。

解题思路：

判断图像关于原点对称，等价于判断函数是否为奇函数，即检验 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。

详细步骤：

1. 计算 $f(-x) = (-x)^{1/3} = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$。
2. 满足 $f(-x) = -f(x)$，所以 $y = x^{1/3}$ 是奇函数。
3. 奇函数的图像关于原点对称，即把图像绕原点旋转 $180$ 度后与自身重合。

最终答案：

$y = x^{1 / 3}$ 是奇函数，图像关于原点对称。

解题思路：

幂函数在正半轴上的单调性由指数 $a$ 的符号决定：正指数对应递增，负指数对应递减。

详细步骤：

1. 当 $a > 0$ 时，对任意 $0 < x_1 < x_2$ 有 $x_1^a < x_2^a$。
2. 因此 $y = x^a$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
3. 图像过点 $(1, 1)$，且在 $x \to 0^+$ 时趋于 $0$、在 $x \to +\infty$ 时趋于 $+\infty$。

最终答案：

在 $x>0$ 时，$y = x^a$ 单调递增。

解题思路：

反比例函数 $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ 的定义域被 $x = 0$ 分成两个区间，需要在每个区间上分别讨论单调性。

详细步骤：

1. 由 $x^{-1} = \frac{1}{x}$，定义域为 $x \neq 0$，即 $(-\infty, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 两段。
2. 在 $(0, +\infty)$ 上，$x$ 增大时分母增大而分子不变，$\frac{1}{x}$ 减小，故单调递减。
3. 在 $(-\infty, 0)$ 上，由 $\frac{1}{x} = -\frac{1}{|x|}$ 可知 $|x|$ 增大时分式值同样减小，故也单调递减。

最终答案：

在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上，$y = x^{-1}$ 分别单调递减。

解题思路：

零次幂的取值需要与 $0^0$ 的未定义性区分开：只要 $x \neq 0$ 就有 $x^0 = 1$，再对照幂函数 $y = x^a$ 的形式判断。

详细步骤：

1. 对任意 $x \neq 0$，由 $x^a \cdot x^{-a} = x^0 = 1$ 可得零次幂恒等于 $1$；当 $x = 0$ 时 $0^0$ 无定义，所以定义域是 $x \neq 0$。
2. 函数值恒为 $1$，因此 $y = x^0$ 是常数函数。
3. 它可以写成 $y = x^a$（取 $a = 0$）的形式，符合幂函数的定义，所以也属于幂函数。

最终答案：

$y = x^0 = 1$（$x \neq 0$），是常数函数，也属于幂函数。

解题思路：

把 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 作比较，符号变化由指数 $a$ 的奇偶性决定。

详细步骤：

1. 对整数指数 $a$，有 $f(-x) = (-x)^a = (-1)^a x^a$。
2. 当 $a$ 为偶数时 $(-1)^a = 1$，即 $f(-x) = f(x)$，所以 $y = x^a$ 是偶函数。
3. 当 $a$ 为奇数时 $(-1)^a = -1$，即 $f(-x) = -f(x)$，所以 $y = x^a$ 是奇函数。

最终答案：

当 $a$ 为非零整数时，$y = x^a$ 的奇偶性与指数一致：$a$ 为偶数时为偶函数，$a$ 为奇数时为奇函数。

解题思路：

由一个函数值列出关于指数 $p$ 的方程并求解，再用另一个函数值检验结果。

详细步骤：

1. 由 $f(2) = 2^p = 8 = 2^3$，比较同底幂得 $p = 3$。
2. 检验另一个条件：$f(4) = 4^3 = 64$，与题设的 $f(4) = 64$ 一致。
3. 两个条件互相印证，说明 $p = 3$ 确实是所求指数。

最终答案：

由 $f(2) = 2^p = 8$，得 $p = 3$。验证 $f(4) = 4^3 = 64$，成立。

解题思路：

逐个检查选项能否写成 $y = x^a$（$a$ 为常数）的形式，区分幂函数、指数函数与对数函数。

详细步骤：

1. (A) $y = x^{1/2}$ 符合 $y = x^a$ 的形式，属于幂函数。
2. (B) $y = 2^x$ 的底数是常数 $2$、自变量在指数位置，是指数函数。
3. (C) $y = x^{-3}$ 符合 $y = x^a$ 的形式，属于幂函数。
4. (D) $y = \ln x$ 的真数出现在对数号内，是对数函数。

最终答案：

(A) 和 (C) 属于幂函数，(B) 是指数函数，(D) 是对数函数。

解题思路：

把 $x^a$ 写成倒数形式 $x^a = \frac{1}{x^{-a}}$，借助倒数的反序性判断单调方向。

详细步骤：

1. 当 $a < 0$ 时 $-a > 0$，所以 $x^{-a}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
2. 取倒数使大小关系反转：若 $x_1 < x_2$，则 $x_1^{-a} < x_2^{-a}$，从而 $\frac{1}{x_1^{-a}} > \frac{1}{x_2^{-a}}$。
3. 因此 $y = x^a$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，图像过点 $(1, 1)$。

最终答案：

在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

解题思路：

零次幂的取值需要与 $0^0$ 的未定义性区分开：只要 $x \neq 0$ 就有 $x^0 = 1$，再对照幂函数 $y = x^a$ 的形式给出理由。

详细步骤：

1. 对任意 $x \neq 0$，零次幂恒等于 $1$；当 $x = 0$ 时 $0^0$ 无定义，所以定义域是 $x \neq 0$。
2. 函数值恒为 $1$，所以 $y = x^0$ 是常数函数。
3. 它可以写成 $y = x^a$（取 $a = 0$）的形式，符合幂函数的定义，因此属于幂函数。

最终答案：

$y = x^0 = 1$（$x \neq 0$），是常数函数，也属于幂函数。

解题思路：

图像的对称性由函数的奇偶性决定，先用 $f(-x) = (-1)^a f(x)$ 判断奇偶性，再给出对称结论。

详细步骤：

1. 对非零整数 $a$，$f(-x) = (-x)^a = (-1)^a x^a$。
2. 当 $a$ 为奇数时 $(-1)^a = -1$，即 $f(-x) = -f(x)$，所以 $y = x^a$ 是奇函数。
3. 奇函数的图像关于原点对称，即把图像绕原点旋转 $180$ 度后与自身重合。

最终答案：

当 $a$ 为非零整数时，$y = x^a$ 的奇偶性与指数一致；$a$ 为奇数时为奇函数，图像关于原点对称。