函数的值域

解题思路： 这是一道应用题，需要结合实际意义理解函数的定义域和值域，并进行相关计算。

详细步骤：

1. 定义域和值域：

   • 定义域已给出：$P \in [5, 15]$
   • 当 $P = 5$ 时，$Q = 200 - 10 \times 5 = 150$
   • 当 $P = 15$ 时，$Q = 200 - 10 \times 15 = 50$
   • 因为函数 $Q = 200 - 10P$ 在定义域上单调递减，所以值域为 $[50, 150]$

2. 当价格为 8 元时的销售量： $Q = 200 - 10 \times 8 = 200 - 80 = 120$（件）

3. 销售量不少于 100 件的价格范围： 需要求解不等式：$200 - 10P \geq 100$ $200 - 100 \geq 10P$ $100 \geq 10P$ $P \leq 10$

   结合原定义域 $[5, 15]$，得到价格应控制在 $[5, 10]$ 元范围内。

答案：

1. 定义域：$[5, 15]$，值域：$[50, 150]$
2. 当价格为 8 元时，销售量是 120 件
3. 价格应控制在 $[5, 10]$ 元范围内

解题思路： 对二次函数进行配方，找到顶点，确定最值，从而求出值域。

详细步骤：

将函数配方： $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ $= -(x^2 - 4x) - 1$ $= -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$ $= -(x - 2)^2 + 4 - 1$ $= -(x - 2)^2 + 3$

分析：

• 因为 $(x - 2)^2 \geq 0$，所以 $-(x - 2)^2 \leq 0$
• 因此 $f(x) = -(x - 2)^2 + 3 \leq 3$
• 当 $x = 2$ 时，$f(x)$ 取得最大值 3
• 当 $x$ 趋向于 $\pm\infty$ 时，$f(x)$ 趋向于 $-\infty$

答案：值域为 $(-\infty, 3]$

解题思路： 设 $y = f(x)$，解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式，然后根据 $x$ 的定义域确定 $y$ 的范围。

详细步骤：

设 $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$，解关于 $x$ 的方程：

$y(x + 3) = 2x - 1$ $yx + 3y = 2x - 1$ $yx - 2x = -1 - 3y$ $x(y - 2) = -1 - 3y$

当 $y \neq 2$ 时： $x = \frac{-1 - 3y}{y - 2} = \frac{1 + 3y}{2 - y}$

由于原函数的定义域要求 $x \neq -3$，所以： $\frac{1 + 3y}{2 - y} \neq -3$

解这个不等式：

$1 + 3y \neq -3(2 - y)$

$1 + 3y \neq -6 + 3y$

$1 \neq -6$

这个不等式恒成立，所以 $y$ 可以取除 2 以外的所有实数。

验证 $y = 2$ 是否可能： 当 $y = 2$ 时，原方程变为 $x(2 - 2) = -1 - 3 \times 2$，即 $0 = -7$，无解。

答案：值域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

解题思路： 观察表格中 $x$ 和 $y$ 的对应关系，寻找规律，确定函数的解析式。

详细步骤：

观察数据规律：

• 当 $x = 0$ 时，$y = 0$
• 当 $x = \pm 1$ 时，$y = 1$
• 当 $x = \pm 2$ 时，$y = 4$

发现 $y = x^2$，验证：

• $(-2)^2 = 4$ ✓
• $(-1)^2 = 1$ ✓
• $0^2 = 0$ ✓
• $1^2 = 1$ ✓
• $2^2 = 4$ ✓

根据表格数据：

• 定义域：$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
• 值域：$\{0, 1, 4\}$

答案：

• 解析式：$f(x) = x^2$
• 定义域：$\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
• 值域：$\{0, 1, 4\}$