初等函数的定义与分类

解题思路：

先明确初等函数的判定标准——由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到；再把四个函数逐一对照标准归类。

详细步骤：

1. 判定标准：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本初等函数，经有限次四则运算和复合运算得到的函数称为初等函数。
2. $y = x^2$ 是幂函数、$y = \sin x$ 是三角函数、$y = \ln x$ 是对数函数，三者本身就是基本初等函数，因此都是初等函数。
3. $y = \Gamma(x)$ 是伽马函数，属于特殊函数，无法由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到，因此不是初等函数。

最终答案：

$y = x^2$、$y = \sin x$、$y = \ln x$ 是初等函数，$y = \Gamma(x)$ 不是（伽马函数为特殊函数）。

解题思路：

代数函数的判定标准是表达式中只出现加、减、乘、除和开方等代数运算，不含指数、对数、三角等超越运算；据此逐个归类。

详细步骤：

1. 代数函数只允许代数运算（加、减、乘、除、开方）出现，一旦出现超越运算即不属于代数函数。
2. $y = \sqrt{x}$ 只含开方运算，$y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 只含四则运算，两者都是代数函数。
3. $y = e^x$ 含指数运算、$y = \sin x$ 含三角运算，都属于超越函数而不是代数函数。

最终答案：

$y = \sqrt{x}$、$y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ 是代数函数，$y = e^x$、$y = \sin x$ 不是。

解题思路：

超越函数的判定标准是表达式中出现指数、对数、三角等超越运算；把四个函数按是否含超越运算逐个对照。

详细步骤：

1. 超越函数必须含有指数、对数、三角函数等超越运算，它与代数函数构成初等函数的二分。
2. $y = \ln x$ 含对数运算、$y = \sin x$ 含三角运算，二者都是超越函数。
3. $y = x^3$ 只含乘方与加减、$y = \sqrt{x}$ 只含开方，都属于代数函数，因此不是超越函数。

最终答案：

$y = \ln x$、$y = \sin x$ 是超越函数，$y = x^3$、$y = \sqrt{x}$ 不是。

解题思路：

先看表达式中出现了哪些超越运算，再看这些超越函数是如何组合的，从而确定它在初等函数分类中的位置。

详细步骤：

1. $y = e^{\sin x}$ 的外层是指数函数 $e^u$，内层是三角函数 $\sin x$，属于复合结构。
2. 指数运算和三角运算都是超越运算，只要含超越运算的函数就归入超越函数。
3. 复合运算本身也是初等函数的构造方式，所以 $e^{\sin x}$ 本身仍是初等函数，同时在代数与超越的分类中属于超越函数。

最终答案：

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

解题思路：

按代数函数的判定标准逐项检查表达式中出现的运算类型，判断它是否属于超越函数一类。

详细步骤：

1. 表达式 $y = \sqrt{x^2 + 1}$ 中出现加法、乘方和开方三种运算，都在代数运算的范围内。
2. 表达式中没有出现指数、对数、三角等超越运算，因此不满足超越函数的条件。
3. 根式又可写成幂运算 $(x^2 + 1)^{1/2}$，仍然是幂函数与一次函数的复合，仍属于代数函数。

最终答案：

属于代数函数，因为只涉及代数运算和开方。

解题思路：

把四个选项的表达式逐个与超越函数的判定标准对照，含指数、对数、三角运算的即为超越函数。

详细步骤：

1. (A) $y = x^2$ 只含乘方运算，属于代数函数。
2. (B) $y = \sin x$ 含三角运算，属于超越函数。
3. (C) $y = \ln x$ 含对数运算，属于超越函数。
4. (D) $y = \sqrt{x}$ 只含开方运算，属于代数函数。

最终答案：

(B)、(C) 是超越函数，(A)、(D) 不是。

解题思路：

检查分式表达式的每一部分是否只出现代数运算，从而判断它属于代数函数还是超越函数。

详细步骤：

1. 分子 $x^2 + 1$ 只含乘方与加法，是多项式，属于代数函数。
2. 分母 $x - 1$ 只含减法，是一次多项式，属于代数函数。
3. 分子与分母相除仍然只用四则运算，整个表达式不含任何超越运算，所以它是有理函数，也属于代数函数。

最终答案：

是代数函数，因为它只涉及加、减、乘、除等代数运算。

解题思路：

从表达式中出现的运算类型出发，先确定它在哪一类中，再说明这一复合结构为何仍属于初等函数。

详细步骤：

1. $y = e^{\sin x}$ 中含指数运算与三角运算，两者都属于超越运算。
2. 只要含超越运算的函数即归入超越函数，因此该函数是超越函数。
3. 从初等函数的构造看，指数函数 $e^u$ 与三角函数 $\sin x$ 都是基本初等函数，两者复合仍是初等函数，所以它在初等函数体系之内，同时归类为超越函数。

最终答案：

属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。