函数的有界性

解题思路： 需要分析函数的值域范围，看是否存在上下界。

详细步骤：

1. 分析函数表达式：$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
2. 当 $x = 0$ 时，$f(0) = 0$
3. 当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$
4. 利用不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$（当 $x > 0$）或 $x + \frac{1}{x} \leq -2$（当 $x < 0$）
5. 因此 $|f(x)| \leq \frac{1}{2}$

答案：该函数在 $\mathbb{R}$ 上有界，上界为 $\frac{1}{2}$，下界为 $-\frac{1}{2}$。

解题思路： 分析对数函数在给定区间上的取值范围。

详细步骤：

1. $\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增
2. 当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$
3. 当 $x = 1$ 时，$\ln 1 = 0$
4. 因此在 $(0, 1]$ 上，函数值范围为 $(-\infty, 0]$

答案：该函数在 $(0, 1]$ 上有上界（0），但无下界，因此不是有界函数。

解题思路： 需要分析三角函数与线性函数比值的性质，判断其是否有界。

详细步骤：

1. 首先注意到 $|\sin x| \leq 1$ 对所有实数 x 成立
2. 因此 $|f(x)| = \left|\frac{\sin x}{x}\right| = \frac{|\sin x|}{x} \leq \frac{1}{x}$
3. 当 $x \in (0, +\infty)$ 时，$\frac{1}{x} > 0$ 且随着 x 增大而减小
4. 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$（重要极限）
5. 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 0$（因为分子有界，分母趋于无穷大）
6. 由于 $\frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减且值域为 $(0, +\infty)$，但我们的函数被 $\frac{1}{x}$ 所控制
7. 实际上，可以证明 $|f(x)| \leq 1$ 对所有 $x \in (0, +\infty)$ 成立

答案：该函数在 $(0, +\infty)$ 上有界，$|f(x)| \leq 1$。

解题思路： 这是一个二次函数在闭区间上的有界性问题。可以通过配方法或求导法找到函数的最值。

详细步骤：

1. 首先对函数进行配方： $f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$

2. 从配方结果可以看出：

   • 当 $x = 1$ 时，$(x-1)^2 = 0$，函数取得最小值 $f(1) = 2$
   • 由于 $(x-1)^2 \geq 0$，所以 $f(x) \geq 2$

3. 在区间 $[0, 3]$ 上分析端点值：

   • $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$
   • $f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$

4. 比较函数在驻点和端点的值：

   • 最小值：$f(1) = 2$
   • 最大值：$f(3) = 6$

5. 因此在区间 $[0, 3]$ 上：

   • 下确界（最小值）为 2
   • 上确界（最大值）为 6

答案：该函数在 $[0, 3]$ 上有界，下确界为 2，上确界为 6。