反正切函数

定义

反正切函数的定义

反正切函数 $y = \arctan x$ 是正切函数 $y = \tan x$ 的反函数。

性质

定义域： $\mathbb{R}$
值域： $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
单调性：单调递增
奇偶性：奇函数

为什么值域取 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

正切函数

y = \tan x

在整个定义域上不是单射（每个

y

对应无穷多个

x

），所以它的”反函数”必须限定一个范围，使

\tan x

在该范围内单调（从而单射）。教材统一选定 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 作为主值区间。

在这个区间上， $\tan x$ 从 $-\infty$ 单调递增到 $+\infty$ ，一个 $y$ 恰好对应一个 $x$ ；
因此反函数 $\arctan x$ 的值域就是 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ；
约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\arctan 1$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反正切函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ，使 $\tan \theta = 1$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ ；
$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ ，落在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内；
由主值区间唯一性， $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ 。

答案： $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \arctan x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反正切函数定义域值域

定义域： $\mathbb{R}$ ；值域： $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反正切函数的值域（ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反正切函数	arctangent function	/ɑːkˈtændʒənt ˈfʌŋkʃən/	正切函数的反函数，记作 $y = \arctan x$
反正切	arctangent	/ɑːkˈtændʒənt/	函数名称，简写为 $\arctan$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/	满足 $f(-x) = -f(x)$ 的函数

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反余弦函数

详细讲解反余弦函数的定义、性质、图像及典型习题。

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