反正割函数

定义

反正割函数的定义

反正割函数 $y = \operatorname{arcsec} x$ 是正割函数 $y = \sec x$ 的反函数。

性质

定义域： $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
值域： $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$
单调性：在定义域的两个连通分支 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,+\infty)$ 上分别严格单调递增

为什么值域取 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$

正割函数

y = \sec x

不是单射，且

\sec x = \frac{1}{\cos x}

在

x = \frac{\pi}{2}

处无定义。教材统一选定 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ 作为

\arcsec

的主值区间：去掉使

\cos x = 0

的点后，在该区间上

\sec x

在每个连通分支上单调，一个

y

恰好对应一个

x

。

在这个区间上， $\sec x$ 分别从 $1$ 递增到 $+\infty$ 、从 $-\infty$ 递增到 $-1$ ；
因此反函数 $\operatorname{arcsec} x$ 的值域就是 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ ；
约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\operatorname{arcsec} 2$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反正割函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ ，使 $\sec \theta = 2$ ，即 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ ，故 $\sec \frac{\pi}{3} = 2$ ；
$\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ ，落在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 内；
由主值区间唯一性， $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$ 。

答案： $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \operatorname{arcsec} x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反正割函数定义域值域

定义域： $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ ；值域： $[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反正割函数的值域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反正割函数	arcsecant function	/ɑːkˈsiːkənt ˈfʌŋkʃən/	正割函数的反函数，记作 $y = \arcsec x$
反正割	arcsecant	/ɑːkˈsiːkənt/	函数名称，简写为 $\arcsec$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围

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反余切函数

详细讲解反余切函数的定义、性质、图像及典型习题。

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