反余割函数

定义

反余割函数的定义

反余割函数 $y = \operatorname{arccsc} x$ 是余割函数 $y = \csc x$ 的反函数。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反余割函数的值域

性质

定义域： $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
值域： $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$
单调性：在定义域的两个连通分支 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,+\infty)$ 上分别严格单调递减

为什么值域取 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$

余割函数

y = \csc x

不是单射，且

\csc x = \frac{1}{\sin x}

在

x = 0

处无定义。教材统一选定 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ 作为

\arccsc

的主值区间：去掉使

\sin x = 0

的点后，在该区间上

\csc x

在每个连通分支上单调，一个

y

恰好对应一个

x

。

在这个区间上， $\csc x$ 分别从 $+\infty$ 递减到 $1$ 、从 $-1$ 递减到 $-\infty$ ；
因此反函数 $\operatorname{arccsc} x$ 的值域就是 $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ ；
约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\operatorname{arccsc} \frac{2\sqrt{3}}{3}$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反余割函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ ，使 $\csc \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，即 $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故 $\csc \frac{\pi}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ；
$\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ ，落在 $(0, \frac{\pi}{2}]$ 内；
由主值区间唯一性， $\operatorname{arccsc} \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$ 。

答案： $\operatorname{arccsc} \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{3}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \operatorname{arccsc} x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反余割函数定义域值域

定义域： $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ ；值域： $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反余割函数的值域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反余割函数	arccosecant function	/ɑːkkəʊˈsiːkənt ˈfʌŋkʃən/	余割函数的反函数，记作 $y = \arccsc x$
反余割	arccosecant	/ɑːkkəʊˈsiːkənt/	函数名称，简写为 $\arccsc$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围

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反正割函数

详细讲解反正割函数的定义、性质、图像及典型习题。

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特殊函数

学习复合函数、反函数、分段函数、隐函数等特殊函数类型，掌握它们的定义和性质。