反余切函数

定义

反余切函数的定义

反余切函数 $y = \operatorname{arccot} x$ 是余切函数 $y = \cot x$ 的反函数。

性质

定义域： $\mathbb{R}$
值域： $(0, \pi)$
单调性：单调递减

为什么值域取 $(0, \pi)$

余切函数

y = \cot x

在整个定义域上不是单射，所以它的”反函数”必须限定一个范围，使

\cot x

在该范围内单调（从而单射）。教材统一选定 $(0, \pi)$ 作为主值区间。

在这个区间上， $\cot x$ 从 $+\infty$ 单调递减到 $-\infty$ ，一个 $y$ 恰好对应一个 $x$ ；
因此反函数 $\operatorname{arccot} x$ 的值域就是 $(0, \pi)$ ；
约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\operatorname{arccot} \sqrt{3}$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反余切函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in (0, \pi)$ ，使 $\cot \theta = \sqrt{3}$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ ；
$\frac{\pi}{6} \approx 0.524$ ，落在 $(0, \pi)$ 内；
由主值区间唯一性， $\operatorname{arccot} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$ 。

答案： $\operatorname{arccot} \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \operatorname{arccot} x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反余切函数定义域值域

定义域： $\mathbb{R}$ ；值域： $(0, \pi)$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反余切函数的值域（ $(0, \pi)$ ）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反余切函数	arccotangent function	/ɑːkkəʊˈtændʒənt ˈfʌŋkʃən/	余切函数的反函数，记作 $y = \arccot x$
反余切	arccotangent	/ɑːkkəʊˈtændʒənt/	函数名称，简写为 $\arccot$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围

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