反余弦函数

定义

反余弦函数的定义

反余弦函数 $y = \arccos x$ 是余弦函数 $y = \cos x$ 的反函数。

性质

定义域： $[-1, 1]$
值域： $[0, \pi]$
单调性：单调递减

为什么值域取 $[0, \pi]$

余弦函数

y = \cos x

在整个

\mathbb{R}

上不是单射（每个

y

对应无穷多个

x

），所以它的”反函数”必须限定一个范围，使

\cos x

在该范围内单调（从而单射）。教材统一选定 $[0, \pi]$ 作为主值区间。

在这个区间上， $\cos x$ 从 $1$ 单调递减到 $-1$ ，一个 $y$ 恰好对应一个 $x$ ；
因此反函数 $\arccos x$ 的值域就是 $[0, \pi]$ ；
约定主值区间让所有教材/计算器结果一致。

求值例题

例：求 $\arccos(-\frac{1}{2})$ 的值。

答案与解析(3 个标签)

反余弦函数求值特殊角

解题思路：要找 $\theta \in [0, \pi]$ ，使 $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ 。

详细步骤：

特殊角中 $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ ；
$\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$ ，落在 $[0, \pi]$ 内；
由主值区间唯一性， $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ 。

答案： $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ 。

图像

练习题

练习题 1

已知 $y = \arccos x$ ，求其定义域和值域。

答案与解析(3 个标签)

反余弦函数定义域值域

定义域： $[-1, 1]$ ；值域： $[0, \pi]$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示反余弦函数的值域（ $[0, \pi]$ ）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
反余弦函数	arccosine function	/ɑːkˈkəʊsaɪn ˈfʌŋkʃən/	余弦函数的反函数，记作 $y = \arccos x$
反余弦	arccosine	/ɑːkˈkəʊsaɪn/	函数名称，简写为 $\arccos$
反函数	inverse function	/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən/	与原函数互逆的函数
定义域	domain	/dəʊˈmeɪn/	自变量的取值范围
值域	range	/reɪndʒ/	函数值的取值范围

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反正弦函数

详细讲解反正弦函数的定义、性质、图像及典型习题。

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