圆的向量表示

坐标写“点在哪”，向量写“从哪指向哪”。圆的定义天然是向量式的——“到圆心 $O$ 的距离等于 $r$”——换成 $|\vec{OP}| = r$ 之后，许多性质不用算就能看出来。

先打基础：向量的模 $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$、单位向量、垂直当且仅当点积为零 $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$，以及圆周上两点位置向量的夹角满足 $\cos\theta = \frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{r^2}$。圆则写成 $\vec{OP} = \vec{OC} + r(\cos\theta\,\vec{i} + \sin\theta\,\vec{j})$，并被证明与坐标表示等价。

向量运算让圆的几何量一步算出：数乘 $k\vec{a}$ 把圆变成半径 $kr$ 的圆；两个半径向量和与差的模给出 $2r\cos\frac{\theta}{2}$ 和 $2r\sin\frac{\theta}{2}$，配合点积得到弦长公式 $|AB| = \sqrt{2r^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}}$；叉积的绝对值则是三角形 $OAB$ 有向面积的两倍。

最后把圆搬到三维：球面与平面的交线仍是圆，可以写成 $\mathbf{r}(\theta) = \mathbf{c} + r\cos\theta\,\mathbf{u} + r\sin\theta\,\mathbf{v}$，其中 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 是平面内两个正交的单位向量。

学完这一章，你能用向量描述圆，能算点积、叉积带来的弦长与面积关系，也能说明同一套公式为何在高维空间里依然成立。