圆与三角函数

直角三角形用边长之比定义三角函数，只能应付锐角。回到圆更自然：既然所有圆都相似，用单位圆上的点来定义三角函数，才是这个概念本来的样子。

角度测量也要换：弧长等于半径的角定义为一弧度，$1$ 弧度 $= \frac{180°}{\pi}$，于是弧长公式 $l = \theta r$ 成为恒等式，公式里也再没有 $\frac{\pi}{180}$ 这种别扭的因子。

定义随之落地：单位圆上对应角 $\theta$ 的点 $(x, y)$ 给出 $\cos\theta = x$、$\sin\theta = y$，并被证明与直角三角形定义在锐角情形下一致。由 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 推出和角、差角与倍角公式，再由 $\tan$、$\cot$、$\sec$、$\csc$ 得到倒数关系、商数关系与平方关系。

两条对称性在单位圆上一目了然：$\cos$ 是偶函数、$\sin$ 是奇函数；$\sin$ 与 $\cos$ 的最小正周期为 $2\pi$，$\tan$、$\cot$ 为 $\pi$。反三角函数则靠限定主值区间（反正弦 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$、反余弦 $[0, \pi]$、反正切 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$）解决正弦、余弦不一一对应的问题，由此得到 $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$。

学完这一章，你能说明三角函数为何定义在单位圆上，能在弧度与角度之间换算，能证明恒等式、判断奇偶性与周期，并正确使用三个反三角函数。