圆的高级应用

前面十几章里，圆始终是研究对象。这一章把它换成舞台：同一个圆进入复数、傅里叶级数、概率与优化之后，会展示出全新的性质，甚至反过来解释为什么它是数学中最特殊的图形之一。

复数单位圆上有一个漂亮的结论：若 $z_1$、$z_2$ 都在单位圆上，则 $z_1 z_2$ 也在单位圆上——模长为 1 的数乘起来仍是模长为 1 的数。再把 $e^x$、$\cos x$、$\sin x$ 的幂级数放到单位圆上汇合，实部恰好是余弦、虚部恰好是正弦，欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 与欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 就此得到。

傅里叶级数则说明圆的参数方程本身就是它的傅里叶级数：$r\cos\theta$ 与 $r\sin\theta$ 的傅里叶展开恰好等于自身，有限项的逼近已经能画出相当漂亮的曲线。

概率里圆是随机点的天然样本空间：单位圆内随机取一点，落在以原点为中心、半径为 $a$ 的圆内的概率等于 $a^2$，蒙特卡洛方法正是靠这个比例估计 $\pi$；Buffon 投针则把 $\pi$ 与圆周长拉进了投针概率。优化方面的结论是等周不等式：在周长相同的平面封闭图形中，圆的面积最大。

最后一节把整门课的结论收拢：圆的对称性、$C/A = \frac{2}{r}$、它是正 $n$ 边形的极限、单位圆上 $x^2+y^2=1$ 的参数化——来自不同分支的结论最后都指向同一个对象，也解释了它为什么同时出现在几何、代数、分析、概率与物理之中。