连续性与圆

极限让我们能说“越来越接近”，但接下来的问题更基础：一条曲线在某个位置会不会突然断开？圆看起来显然是连通的，可“看起来连通”不是证明。这一章给连续性下数学定义，并追问圆是否满足它。

连续函数的定义是 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即极限值必须恰好等于函数在该点的取值，这比“不断”更严格。用它检查圆：上半圆 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 在 $[-r, r]$ 上连续，隐函数写法则说明整条圆处处连续，圆是连续封闭曲线。

参数方程给出另一条路：$x(\theta) = r\cos\theta$、$y(\theta) = r\sin\theta$ 各自连续，复合出来的曲线就连续，端点处只要左右极限一致即可；导数始终不为零还说明圆是光滑曲线。

连续性不只是定义，它带来两个立刻能用的结论：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，介值定理保证函数取遍两端点值之间的每一个值——两者用在圆上，都能把“最高点在哪”“与某条直线是否相交”这类问题变成必然成立的事实。

学完这一章，你能用极限等式判定圆的连续性，说明参数方程为什么自动连续，并能用介值定理和最值定理处理圆上的具体问题。