圆与圆锥曲线

几何基础那一章留了个伏笔：到两定点距离之和为定常数的轨迹是椭圆，焦点重合时退化为圆。现在可以回头把这件事做完——圆其实是二次曲线家族里最特殊的一员。

压扁的圆就是椭圆：两焦点距离之和为常数 $2a$，标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，面积恰为 $\pi ab$。双曲线换成距离之差为常数，标准方程 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，两支无限延伸。抛物线改用“到定点距离等于到定直线距离”来定义，标准形 $y^2 = 2px$，焦点与准线都能直接读出。

统一这些曲线的是离心率 $e$：以焦点与准线的方式定义时，$e = 0$ 对应圆，$0 < e < 1$ 是椭圆，$e = 1$ 是抛物线，$e > 1$ 是双曲线；写成极坐标就是同一个方程 $r = \frac{ep}{1 + e\cos\theta}$，差别只在那个参数上。

学完这一章，你能写出三种圆锥曲线的标准方程与几何定义，会用离心率判断曲线类型，并能用统一方程把圆看成 $e = 0$ 的特例。