数列、极限与π

初等几何留下一个洞：拼接法里“切得无穷多片锯齿就消失”只是直觉，阿基米德的夹逼法虽然严密，却依赖 $\sin x / x$ 的极限，而极限本身还没有定义。这一章就来补这块地基。

先用 $\pi_n = n\sin\frac{\pi}{n}$ 这样的数列去逼近 $\pi$，引出数列极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义，再证明后面处处要用的重要极限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，并给出极限的基本性质。有了它，“$n \to \infty$ 时正多边形趋于圆”才第一次有了严格意义。

同一个数列还带来两个实用结果：$\pi_n$ 单调递增，可以放心地逐项逼近；刘徽的割圆术给出更快的递推公式，阿基米德则从内外两面同时夹逼，历史上正是用正 96 边形把 $\pi$ 锁在 $3.1408$ 与 $3.1429$ 之间。

有了极限，面积公式才算真正被证明：内接正多边形的面积趋于 $\pi r^2$，再用夹逼定理处理上下界，初等方法与极限方法的区别也在这里摊开。

学完这一章，你能写出数列极限的严格定义，说明为什么 $n\sin\frac{\pi}{n} \to \pi$，并用极限而不是直觉证明圆的面积公式。