向量运算与圆

同学们好！我是地球老师，今天我们继续在呼噜星球探索向量与圆的奇妙关系。上节课我们学习了如何用向量来表示圆，这节课我们要深入研究向量运算如何帮助我们解决与圆相关的各种问题！

问题提出

“老师，向量加减法、数乘、点积、叉积这些运算到底和圆有什么关系呢？为什么要学这些？“呼噜星人小蓝提出了疑问。

没错！我们为什么要学习向量运算呢？因为向量运算不仅是抽象的数学概念，更是解决实际问题的强大工具！

让我先问大家一个问题：

思考题1：给定圆心为原点，半径为 $r$ 的圆 $\Gamma$，圆上两点 $A$ 和 $B$ 的向量表示分别为 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，那么 $\vec{a} + \vec{b}$代表什么？这个向量的长度与圆的半径有什么关系？

思考题2：如果我在向量 $\vec{a}$上乘以一个实数 $k$，得到 $k\vec{a}$，这个新向量对应的点在哪里？它与原来的圆有什么关系？

思考题3：向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的点积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$能告诉我们什么信息？这与圆上的弦长有什么关系？

思考题4：向量叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$的绝对值等于什么？这个值在圆的几何中有什么意义？

这些问题看起来复杂，但通过今天的学习，你们将看到向量运算如何帮助我们优雅地解决圆的各种问题！

观察与猜想

1. 向量加法与圆上的点

首先，让我们做一个有趣的观察实验。

假设圆心在原点 $O$，半径为 $r$。圆上两点 $A$ 和 $B$ 分别对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$。

由于 $A$ 和 $B$ 都在圆上，我们有： $|\vec{a}| = r, \quad |\vec{b}| = r$

现在考虑它们的和 $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$。这个向量 $\vec{s}$有什么特点呢？

计算 $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (r + r\cos\theta, r\sin\theta) = r(1 + \cos\theta, \sin\theta)$

计算 $\vec{s}$的长度： $|\vec{s}| = r\sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = r\sqrt{1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta} = r\sqrt{2 + 2\cos\theta} = r\sqrt{2(1 + \cos\theta)} = r \cdot 2|\cos(\theta/2)|$

我们发现： $|\vec{a} + \vec{b}| = 2r|\cos(\theta/2)|$

其中 $\theta$ 是向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的夹角！

2. 向量数乘与圆的缩放

现在我们来看向量的数乘运算。

猜想1：如果 $\vec{a}$是圆 $\Gamma$ 上的点对应的向量，那么 $k\vec{a}$对应的点在什么位置？

因此，$k\vec{a}$对应的点位于圆心为原点，半径为 $|k|r$ 的圆上！

特别地：

• 当 $k > 1$ 时，圆被放大
• 当 $0 < k < 1$ 时，圆被缩小
• 当 $k = 1$ 时，圆保持不变
• 当 $k < 0$ 时，点被反射到圆的另一侧，且半径变为 $|k|r$

3. 向量点积与弦长的关系

这是最精彩的部分！向量点积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$与圆的弦长有什么关系？

定义：两个向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的点积定义为： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

其中 $\theta$ 是两个向量的夹角。

由于 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = r$，所以： $\vec{a} \cdot \vec{b} = r^2\cos\theta$

现在考虑圆上两点 $A$ 和 $B$ 之间的弦长 $AB$。根据余弦定理： $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos\theta = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\theta = 2r^2(1 - \cos\theta)$

所以弦长为： $AB = \sqrt{2r^2(1 - \cos\theta)} = r\sqrt{2(1 - \cos\theta)}$

这与我们之前得到的点积有什么关系呢？

从 $\vec{a} \cdot \vec{b} = r^2\cos\theta$，可以得到： $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{r^2}$

代入弦长公式： $AB = r\sqrt{2\left(1 - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{r^2}\right)} = \sqrt{2r^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}} = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

重要结论： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

这就是向量点积与圆上弦长的重要关系！

4. 向量叉积与有向面积

最后，让我们看看向量叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$的几何意义。

在二维情况下，叉积定义为： $\vec{a} \times \vec{b} = a_x b_y - a_y b_x$

这个值的几何意义是什么？

具体来说：

• $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 等于平行四边形的面积
• 叉积的符号取决于向量的相对方向（逆时针为正，顺时针为负）

对于圆上的两点 $A$ 和 $B$，向量 $\vec{a} \times \vec{b}$的绝对值等于什么？

让我们计算： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}||\sin\theta| = r \cdot r \cdot |\sin\theta| = r^2|\sin\theta|$

这与三角形 $OAB$ 的面积有什么关系？

三角形 $OAB$ 的面积为： $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot |\sin\theta| = \frac{1}{2} r^2 |\sin\theta|$

所以： $|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\triangle OAB}$

即叉积的绝对值等于三角形 $OAB$ 面积的两倍！

严格证明

现在让我们严格证明前面观察到的一些重要结论。

定理1：向量加法的长度公式

定理：设圆心为原点，半径为 $r$。圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，夹角为 $\theta$，则： $|\vec{a} + \vec{b}| = 2r|\cos(\theta/2)|$

证明：

由于 $\vec{a}$和 $\vec{b}$都是单位向量的 $r$ 倍，设 $\vec{u} = \frac{\vec{a}}{r}$，$\vec{v} = \frac{\vec{b}}{r}$，则 $|\vec{u}| = |\vec{v}| = 1$。

利用向量长度的平方： $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = r^2 + 2r^2\cos\theta + r^2 = 2r^2(1 + \cos\theta)$

利用余弦的半角公式： $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)$

因此： $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2r^2 \cdot 2\cos^2(\theta/2) = 4r^2\cos^2(\theta/2)$

所以： $|\vec{a} + \vec{b}| = 2r|\cos(\theta/2)|$

定理2：弦长公式

定理：设圆心为原点，半径为 $r$。圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则弦长 $AB$ 为： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

证明：

方法一：利用点积定义

已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = r^2\cos\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的夹角。

根据余弦定理： $AB^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = r^2 + r^2 - 2r\cos\theta = 2r^2(1 - \cos\theta)$

将 $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{r^2}$ 代入： $AB^2 = 2r^2\left(1 - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{r^2}\right) = 2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})$

所以： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

方法二：利用向量差

$AB = |\vec{b} - \vec{a}|$

$AB^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = r^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + r^2 = 2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})$

同样得到： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

定理3：数乘变换

定理：设 $\vec{a}$是圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 上的点对应的向量，则对于任意实数 $k$，$k\vec{a}$对应的点位于圆 $x^2 + y^2 = (kr)^2$ 上。

证明：

设 $\vec{a} = (x, y)$，则满足 $x^2 + y^2 = r^2$。

令 $k\vec{a} = (kx, ky)$，则： $(kx)^2 + (ky)^2 = k^2x^2 + k^2y^2 = k^2(x^2 + y^2) = k^2r^2$

因此 $(kx, ky)$ 满足 $x^2 + y^2 = (kr)^2$，即位于半径为 $|k|r$ 的圆上。

定理4：叉积的几何意义

定理：设圆心为原点，半径为 $r$。圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则： $|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\triangle OAB}$

其中 $S_{\triangle OAB}$ 是三角形 $OAB$ 的面积。

证明：

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则： $\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$

三角形 $OAB$ 的面积可以用行列式公式： $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

因此： $|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\triangle OAB}$

结论与应用

通过前面的学习和证明，我们得到了几个重要的结论：

1. 向量加法结论

结论1：对于圆心在原点，半径为 $r$ 的圆，圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则： $|\vec{a} + \vec{b}| = 2r|\cos(\theta/2)|$

其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的夹角。

应用：可以用这个公式快速计算两个向量和的长度，而不需要先计算具体的坐标。

2. 数乘变换结论

结论2：向量的数乘 $k\vec{a}$将原圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 变换为圆 $x^2 + y^2 = (kr)^2$。

应用：这是圆的相似变换，可以用来缩放圆的大小。

3. 弦长公式

结论3：圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则弦长： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$

应用：这个公式非常实用，因为点积通常比角度更容易计算。

4. 叉积与面积

结论4：圆上两点 $A$ 和 $B$ 对应向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则： $|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\triangle OAB}$

应用：可以快速计算三角形 $OAB$ 的面积。

具体应用例题

让我们通过几个例题来体会这些公式的威力！

例题1：判断点是否在圆上

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和点 $P$，判断点 $P$ 是否在圆上。

解法：设点 $P$ 对应向量 $\vec{p}$，则点 $P$ 在圆上当且仅当 $|\vec{p}| = r$。

即 $\vec{p} \cdot \vec{p} = r^2$。

例题：判断点 $(3, 4)$ 是否在圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上。

解：$\vec{p} = (3, 4)$，$\vec{p} \cdot \vec{p} = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = r^2$，所以点在圆上。

例题2：求弦长

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和圆上两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，求弦长 $AB$。

解法：使用弦长公式： $AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})} = \sqrt{2(r^2 - x_1x_2 - y_1y_2)}$

例题：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上两点 $A(3, 4)$ 和 $B(-5, 0)$ 之间的弦长。

解：$\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-5, 0)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-5) + 4 \cdot 0 = -15$

$AB = \sqrt{2(25 - (-15))} = \sqrt{2 \times 40} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

例题3：求三角形面积

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和圆上两点 $A$、$B$，求三角形 $OAB$ 的面积。

解法：使用叉积公式： $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

例题：求圆 $x^2 + y^2 = 16$ 上两点 $A(4, 0)$ 和 $B(0, 4)$ 构成的三角形 $OAB$ 的面积。

解：$\vec{a} = (4, 0)$，$\vec{b} = (0, 4)$

$\vec{a} \times \vec{b} = 4 \times 4 - 0 \times 0 = 16$

$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

例题4：圆的缩放

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$，将其半径放大 2 倍，求新圆的方程。

解法：对圆上任意点 $A$ 对应向量 $\vec{a}$，缩放后的点为 $2\vec{a}$。

新圆的方程为 $x^2 + y^2 = (2r)^2 = 4r^2$。

例题：将圆 $x^2 + y^2 = 9$ 的半径放大 3 倍，求新圆的方程。

解：新圆的方程为 $x^2 + y^2 = 81$。

例题5：向量运算求圆心到弦的距离

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和圆上两点 $A$、$B$，求圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离。

解法：设向量 $\vec{a}$和 $\vec{b}$，则弦 $AB$ 的中点为 $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$。

圆心到弦的距离为 $|\vec{m}|$。

但更简单的方法是利用面积： $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d$

其中 $d$ 是圆心到弦的距离。

所以： $d = \frac{2S_{\triangle OAB}}{AB} = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{\sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}}$

例题：求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 上两点 $A(3, 4)$ 和 $B(-5, 0)$ 之间的弦距离圆心的距离。

解：从前面例题我们知道： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |3 \times 0 - (-5) \times 4| = |0 + 20| = 20$ $AB = 4\sqrt{5}$

所以： $d = \frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

高级应用：向量的参数方程

有时候我们需要用向量来表示圆的参数方程。

参数方程：圆心在原点，半径为 $r$ 的圆可以表示为： $\vec{r}(\theta) = r(\cos\theta, \sin\theta)$

其中 $\theta$ 是参数角度。

向量形式：圆上任意点可以表示为： $\vec{r} = \vec{a}\cos\theta + \vec{b}\sin\theta$

其中 $\vec{a}$和 $\vec{b}$是单位向量。

复杂应用：向量方程解圆问题

让我们来看一个复杂的应用题：

问题：给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和圆外一点 $P$，求从 $P$ 到圆的切线方程。

解法：设 $P$ 对应向量 $\vec{p}$，切点为 $A$ 对应向量 $\vec{a}$。

由于 $A$ 在圆上，$|\vec{a}| = r$。

由于 $PA$ 是切线，$\vec{PA} \cdot \vec{OA} = 0$。

即 $(\vec{a} - \vec{p}) \cdot \vec{a} = 0$

展开：$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{p} \cdot \vec{a} = 0$

因为 $\vec{a} \cdot \vec{a} = r^2$，所以： $\vec{p} \cdot \vec{a} = r^2$

这是切点的向量方程。设 $\vec{p} = (x_0, y_0)$，$\vec{a} = (x, y)$，则： $x_0x + y_0y = r^2$

这就是切线的方程！

例题：求从点 $P(6, 8)$ 到圆 $x^2 + y^2 = 25$ 的切线方程。

解：直接使用公式： $6x + 8y = 25$

这就是切线的方程！

向量运算的优势

通过这些例题，我们可以看到向量运算的几个优势：

1. 简洁性：向量公式通常比坐标计算更简洁
2. 几何直观性：向量运算直接反映几何意义
3. 统一性：各种几何问题可以用统一的向量方法处理
4. 易于推广：向量方法可以推广到高维空间

实际应用

向量与圆的运算在实际中有广泛应用：

1. 计算机图形学：用于圆的变换、碰撞检测等
2. 物理学：圆周运动、力的分解等
3. 工程学：齿轮设计、机械结构等
4. 地理信息系统：地图投影、距离计算等

总结

今天我们学习了向量运算与圆的密切关系：

1. 向量加法：$|\vec{a} + \vec{b}| = 2r|\cos(\theta/2)|$
2. 数乘变换：$k\vec{a}$对应半径 $|k|r$ 的圆
3. 弦长公式：$AB = \sqrt{2(r^2 - \vec{a} \cdot \vec{b})}$
4. 叉积与面积：$|\vec{a} \times \vec{b}| = 2S_{\triangle OAB}$

这些公式和定理为我们提供了强大的工具来解决各种与圆相关的几何问题。

呼噜星人的收获：

今天我们真的学到了很多！向量运算原来和圆有这么多关系！现在我们知道：

1. 向量的和会告诉我们圆上两点的关系
2. 数乘可以把圆变大变小
3. 点积可以轻松算出弦长
4. 叉积可以算出三角形面积

以后遇到圆的问题，我们再也不用绕圈子了，直接用向量运算就能轻松解决！数学真是太奇妙了！

课后练习

1. 设圆 $x^2 + y^2 = 16$ 上两点 $A(4, 0)$ 和 $B(0, 4)$，求：

   • 向量和 $\vec{a} + \vec{b}$的长度
   • 弦长 $AB$
   • 三角形 $OAB$ 的面积

2. 给定圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 和圆上两点 $A$、$B$，证明圆心到弦 $AB$ 的距离为： $d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right)^2}$

3. 用向量方法证明：圆内接矩形的对角线长度相等。

4. 设圆 $x^2 + y^2 = 9$ 上两点 $A(3, 0)$ 和 $B(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$，求：

   • 两向量的夹角
   • 弦长 $AB$
   • 圆心到弦 $AB$ 的距离