π的级数表示

多边形逼近虽然能算出 $\pi$，但边数每翻一倍，精度才提高有限几位。这一章换一条路：把 $\pi$ 写成一个无穷级数的和，让“加无穷多个数”变成合法的运算。

第一步是把无穷级数定义清楚，并认清收敛的必要条件——通项趋于零；但调和级数立刻给出反例，说明这只是必要条件。除几何级数的收敛区间 $|x| < 1$ 外，还有比较判别法、比值判别法、根值判别法这三条正项级数的判别路径，以及专门对付交错级数的莱布尼茨判别法；它们共同区分出绝对收敛与条件收敛，也给出衡量收敛速度快慢的依据。

有了判别法，$\pi$ 的级数表示才有意义：几何级数替换 $u = -x^2$ 后逐项积分得到反正切函数的展开，代回 $x = 1$ 就是莱布尼茨级数 $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$，它条件收敛、慢得惊人；由它改造出的 Machin 公式把四个反正切组合起来，精度立刻提升。收敛更快的还有拉马努金级数、楚德诺夫斯基级数，以及能用十六进制直接抽取 $\pi$ 数位的 BBP 公式。

级数还有另一重身份：$\sin x$、$\cos x$ 的泰勒级数与 $e^{ix}$ 的幂级数相遇，实部恰好是余弦、虚部恰好是正弦，欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 就此被证明。

学完这一章，你能写出无穷级数的收敛判据，判断绝对收敛与条件收敛，能用莱布尼茨级数与 Machin 公式计算 $\pi$，并能说明不同 $\pi$ 级数在收敛速度上的差别。