函数与圆

有了方程 $x^2 + y^2 = r^2$，一个新问题随之出现：函数 $y = f(x)$ 要求每个 $x$ 只对应一个 $y$，圆却做不到——同一条竖直直线 $x = x_0$ 上通常有两个交点。圆不是函数吗？还是我们的工具不够用？

这一章给出答案：圆确实无法用单一显函数 $y = f(x)$ 表示，竖直直线检验法和“一对多”的反例都指向同一个结论。但方程 $F(x, y) = 0$ 这种写法并不要求把 $y$ 解出来，它把圆写成了隐函数；由此引入隐函数定理的条件 $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$，也解释了为什么圆的方程关于 $y$ 是二次的所以无法完全显化，而 $xy = 1$ 关于 $y$ 是一次所以可以。

剩下的办法是分段：上半圆写作 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$，右半圆按上下两段分别给出，分段点处只有两侧极限相等才连续。分段函数能精确描述半圆，却拼不出完整的圆——这个“半圆函数”最终会出现在概率论里。

学完这一章，你能解释圆为什么不是函数的图像，说清显函数与隐函数的区别及隐函数定理的适用条件，并能用分段函数写出圆的各半部分、判断分段点处的连续性。